1-forma

In algebra lineare, una 1-forma su uno spazio vettoriale è sinonimo di funzionale lineare su tale spazio. In tale contesto, la dicitura "1-forma" è solitamente utilizzata per distinguere i funzionali lineari da funzionali multilineari di grado maggiore (una forma multilineare di grado n è un'espressione polinomiale che è lineare rispetto a tutte le n variabili su cui è definita).

In geometria differenziale, una 1-forma differenziale su una varietà differenziabile è una sezione liscia del fibrato cotangente, lo spazio duale del fibrato tangente. In modo equivalente, una 1-forma su una varietà $M$ è una funzione liscia $α$ definita dallo spazio totale del fibrato tangente di $M$ a $ℝ$ la cui restrizione ad ogni fibra è un funzionale lineare sullo spazio tangente. In simboli:

α : T M \to ℝ α_{x} = α |_{T_{x} M} : T_{x} M \to ℝ

dove $α_{x}$ è lineare.

Spesso le 1-forme sono descritte localmente come combinazioni lineari dei differenziali delle coordinate:

α_{x} = f_{1} (x) d x_{1} + f_{2} (x) d x_{2} + \dots + f_{n} (x) d x_{n}

dove $f_{i}$ sono funzioni lisce. Da questo punto di vista, una 1-forma obbedisce ad una legge di trasformazione covariante per cambiare sistema di coordinate. Si tratta quindi di un campo tensoriale covariante di ordine 1.

Differenziale di una funzione

Sia $U \subseteq ℝ$ un insieme aperto, ad esempio un intervallo $(a, b)$ , e si consideri una funzione differenziabile $f : U \to ℝ$ , con derivata $f^{'}$ . Il differenziale $d f$ di $f$ , nel punto $x_{0} \in U$ , è definito come una trasformazione lineare della variabile $d x$ data da:

d f (x_{0}, d x) : d x \mapsto f^{'} (x_{0}) d x

Il simbolo $d x$ è quindi un argomento (variabile indipendente) della funzione $d f$ . La mappa $x \mapsto d f (x, d x)$ associa quindi ogni punto al funzionale lineare $d f (x, d x)$ . Si tratta del più semplice esempio di 1-forma differenziale.

Bibliografia

(EN) Charles W. Misner, Kip S. Thorne e John Archibald Wheeler, Gravitation, W.H. Freeman & Co, 1973, p. 57, ISBN 0-7167-0344-0.
(EN) Igor Rostislavovich Shafarevich, Basic algebraic geometry, Springer-Verlag, 1977, ISBN 3540082646.
(EN) Mario Baldassarri, Algebraic varieties, Springer-Verlag, 1956, LCCN 56058757.
(EN) Robin Hartshorne, Algebraic geometry, Springer-Verlag, 1977, LCCN 77001177.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, One-Form, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) 1-forma, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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