In matematica, più precisamente in algebra lineare, una forma bilineare è una mappa bilineare a valori in un campo. Si tratta di una funzione definita sul prodotto cartesiano di due spazi vettoriali che è lineare in entrambe le componenti.
In matematica, più precisamente in algebra lineare, una forma bilineare è una mappa bilineare a valori in un campo. Si tratta di una funzione definita sul prodotto cartesiano di due spazi vettoriali che è lineare in entrambe le componenti.
Siano e spazi vettoriali su e il loro prodotto cartesiano. Una forma bilineare sul campo è una mappa
che associa ad ogni coppia di elementi e lo scalare ed è lineare su entrambe le componenti, cioè:
Fissato uno dei due argomenti, la funzione è lineare rispetto all'altro.
Se e coincidono, la forma si dice bilineare su (o su ).
Se ha dimensione finita, ogni forma bilineare su può essere rappresentata come una matrice quadrata di ordine Come per le applicazioni lineari, per fare ciò è necessario scegliere una base per , in quanto la matrice risultante dipende dalla base scelta.
La matrice è definita per elementi da:
L'azione della forma bilineare su due vettori e di si ricava nel modo seguente, tramite moltiplicazione tra matrici:
dove e sono le coordinate di e rispetto alla base.
Ogni forma bilineare su definisce una coppia di mappe lineari da nel suo spazio duale . Si definiscano nel modo seguente:
In altre parole, è l'elemento di che manda in .
Per denotare la posizione dell'argomento nella mappa lineare risultante, si usa la notazione:
Ogni mappa lineare definisce analogamente una funzione bilineare:
Una forma bilineare è detta simmetrica se:
per ogni e in . È invece detta antisimmetrica se:
Una forma bilineare è simmetrica se e solo se la matrice associata (rispetto ad una base qualsiasi) è simmetrica, ed è antisimmetrica se e solo se la matrice associata è antisimmetrica.
Se la forma bilineare è simmetrica, le due mappe e definite sopra coincidono.
Se non ha caratteristica 2, allora una caratterizzazione equivalente di una forma antisimmetrica è:
per ogni . In caso contrario, la condizione precedente è solo sufficiente.
Una forma bilineare simmetrica è spesso chiamata prodotto scalare. Altri autori definiscono invece il prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica a valori nel campo dei numeri reali che sia definita positiva, ovvero con per ogni diverso da zero, e .
Una forma bilineare definita su uno spazio di dimensione finita è degenere se la matrice che la rappresenta rispetto ad una base ha determinante nullo. Altrimenti, è detta non degenere. La definizione non dipende dalla base scelta per rappresentare la forma come matrice.
I fatti seguenti sono equivalenti:
Prese due matrici congruenti , ossia tali che , ove , queste hanno il medesimo rango.
Poiché le matrici di Gram associate a una forma bilineare rispetto a una certa base sono tra loro congruenti, ne segue che è possibile definire il rango di una forma bilineare come il rango della matrice di Gram associata alla forma bilineare rispetto una qualsiasi base, ossia .
Si ha dunque che in uno spazio vettoriale a dimensione finita, una forma bilineare si dice non degenere se .
Sia una forma bilineare, il radicale di tale forma è il sottospazio di costituito dai vettori che sono -ortogonali a tutti i vettori di .
In simboli, .
Proposizione. Siano uno spazio vettoriale a dimensione finita su un campo , una base di e una matrice simmetrica di Gram associata a una forma bilineare rispetto alla base . Sotto queste condizioni, il radicale di tale forma in coordinate rispetto alla base scelta è il nucleo dell'applicazione associata alla matrice , ossia .
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