Matrice hessiana

In analisi matematica, la matrice hessiana di una funzione di $n$ variabili a valori in un campo di scalari, anche detta matrice di Hesse o semplicemente hessiana (o ultragradiente), è la matrice quadrata $n \times n$ delle derivate parziali seconde della funzione. Il nome è dovuto a Ludwig Otto Hesse.

Definizione

Data una funzione reale di $n$ variabili reali $f : ℝ^{n} \to ℝ$ , se tutte le sue derivate parziali seconde esistono, allora si definisce matrice hessiana della funzione $f$ la matrice $H_{f} (𝐱)$ data da:

H_{f} = [\begin{matrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{2}} & \dots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{n}} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}} & \dots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n} \partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n} \partial x_{2}} & \dots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n}^{2}} \end{matrix}], (H_{f})_{i j} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}},

cui si associa l'operatore:

H_{i j} = \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i} \partial x_{j}} .

L'hessiana di fatto rappresenta la jacobiana del gradiente, sinteticamente:

H = J \cdot \nabla .

Derivate miste e simmetria dell'hessiana

Gli elementi fuori dalla diagonale principale nell'hessiana sono le derivate miste della funzione $f$ . Con opportune ipotesi, vale il teorema seguente:

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) .

Questa uguaglianza si scrive anche come:

\partial_{x y} f = \partial_{y x} f .

In termini formali: se tutte le derivate seconde di $f$ sono continue in una regione $Ω$ , allora l'hessiana di $f$ è una matrice simmetrica in ogni punto di $Ω$ . La veridicità di questa affermazione è nota come teorema di Schwarz.

Punti critici e discriminante

Se il gradiente della funzione $f$ è nullo in un punto $𝐱$ appartenente al dominio della funzione, allora $f$ in $𝐱$ ha un punto critico. Il determinante dell'hessiana (detto semplicemente hessiano) in $𝐱$ è anche detto discriminante in $𝐱$ . Se questo determinante è zero allora $𝐱$ è chiamato punto critico degenere della $f$ . Negli altri punti viene chiamato non degenere.

Test per la derivata seconda

Il seguente criterio può essere applicato in un punto critico $𝐱$ non degenere:

se l'hessiana è una matrice definita positiva in $𝐱$ , allora $f$ ha un minimo locale in $𝐱$ ;

se l'hessiana è una matrice definita negativa in $𝐱$ , allora $f$ ha un massimo locale in $𝐱$ ;

se l'hessiana ha almeno due autovalori di segno opposto, allora $𝐱$ è un punto di sella per $f$ .

Altrimenti il test è inconclusivo. Si noti che per hessiane semidefinite positive e semidefinite negative il test è inconclusivo. Quindi, possiamo vedere di più dal punto di vista della teoria di Morse.

Tenuto conto di quanto è stato appena detto, il test per le derivate seconde per funzioni di una e due variabili sono semplici.

In una variabile, l'hessiana contiene appena una derivata seconda:

se questa è positiva, allora $x$ è un minimo locale, se questa è negativa, allora $x$ è un massimo locale;

se questa è zero, allora il test è inconclusivo.

In due variabili, può essere usato il determinante, perché è il prodotto degli autovalori:

se questo è positivo, allora gli autovalori sono entrambi positivi, o entrambi negativi;

se questo è negativo, allora i due autovalori hanno differente segno;

se questo è zero, allora il test della derivata seconda è inconclusivo.

Funzioni a valori vettoriali

Se $f$ è invece una funzione a valori vettoriali, cioè se

f : ℝ^{m} \to ℝ^{n},

allora il vettore delle derivate parziali seconde non è una matrice, ma un tensore di rango 3.

Bibliografia

Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-2675-0.
(EN) Binmore e Davies, Calculus Concepts and Methods, Cambridge University Press, 2007, p. 190.

Voci correlate

Collegamenti esterni

matrice hessiana, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Eric W. Weisstein, Hessian, su MathWorld, Wolfram Research.

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