Matrice trasposta

In matematica, la matrice trasposta di una matrice è la matrice ottenuta scambiandone le righe con le colonne. Fu introdotta nel 1858 dal matematico britannico Arthur Cayley.

Definizione

La trasposta di una matrice ${\displaystyle A}$ è la matrice ${\displaystyle A^{T}}$ il cui generico elemento con indici ${\displaystyle (i,j)}$ è l'elemento con indici ${\displaystyle (j,i)}$ della matrice originaria. In simboli:

${\displaystyle \left(A^{T}\right)_{ij}=A_{ji}\qquad \forall A\in \mathbf {K} ^{m,n}\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n}$

con ${\displaystyle \mathbf {K} ^{m,n}}$ lo spazio vettoriale delle matrici di dimensione n. In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.

L'operazione di trasposizione è definita sia su matrici quadrate che rettangolari, e quindi anche su vettori. In particolare, un vettore colonna trasposto è un vettore riga, e viceversa.

Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta matrice simmetrica, e deve essere una matrice quadrata. Uno scalare può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica 1 × 1, ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ di dimensioni opportune si abbia che:

${\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}\neq A^{T}B^{T}}$

l'operatore di trasposizione è lineare, ovvero, dati due scalari ${\displaystyle k}$ ed ${\displaystyle l}$, vale:

${\displaystyle (kA+lB)^{T}=(kA)^{T}+(lB)^{T}=kA^{T}+lB^{T}}$

Più in generale, dati N scalari ${\displaystyle k_{i}}$ ed N matrici ${\displaystyle A_{i}}$ di pari dimensioni, vale:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{N}k_{i}A_{i}\right)^{T}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}A_{i}^{T}}$

dove ${\displaystyle \sum }$ indica una sommatoria.

Proprietà

Valgono le seguenti proprietà:

• La trasposta della trasposta è la matrice stessa:

${\displaystyle \left(A^{T}\right)^{T}=A}$

• La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle due matrici trasposte:

${\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}$

• L'ordine delle matrici si inverte per la moltiplicazione:

${\displaystyle \left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}}$

Questo risultato è facilmente estendibile al caso più generale, dove si considerano più matrici:

${\displaystyle \left(ABC\dots XYZ\right)^{T}=Z^{T}Y^{T}X^{T}\dots C^{T}B^{T}A^{T}}$

• Se ${\displaystyle c}$ è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare invariato:

${\displaystyle (cA)^{T}=cA^{T}}$

• Nel caso di matrici quadrate, il determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale:

${\displaystyle \det(A^{T})=\det(A)}$

• Il prodotto scalare tra due vettori colonna ${\displaystyle \mathbf {a} }$ e ${\displaystyle \mathbf {b} }$ può essere calcolato come:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{T}\mathbf {b} ,}$

che può essere scritto usando la notazione di Einstein come ${\displaystyle a_{i}b^{i}}$.

• Se ${\displaystyle A}$ ha solamente elementi reali, allora ${\displaystyle A^{T}A}$ è una matrice simmetrica semidefinita positiva.
• La trasposta di una matrice invertibile è ancora invertibile e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice iniziale:${\displaystyle (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}}$
• Se ${\displaystyle A^{T}=A^{-1}}$ allora ${\displaystyle A}$ è una matrice ortogonale
• Se ${\displaystyle A}$ è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.

Trasposta di applicazioni lineari

Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio duale e Base duale.

Se ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ sono due spazi vettoriali di dimensione finita sullo stesso campo e ${\displaystyle f:V\to W}$ è un'applicazione lineare, si può definire l'applicazione duale di ${\displaystyle f}$ come la mappa ${\displaystyle f^{*}:W^{*}\to V^{*}}$ tra gli spazi duali ${\displaystyle W^{*}}$ e ${\displaystyle V^{*}}$ definita da:

${\displaystyle f^{*}:\varphi \mapsto \varphi \circ f\qquad \forall \varphi \in W^{*}}$

Fissate due basi ${\displaystyle E}$ e ${\displaystyle F}$ di ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ rispettivamente, si dimostra che se ${\displaystyle A}$ è la matrice associata a ${\displaystyle f}$ rispetto tali basi allora la matrice associata a ${\displaystyle f^{*}}$ rispetto alle basi duali di ${\displaystyle E}$ e di ${\displaystyle F}$ è la trasposta di ${\displaystyle A}$.

Ogni applicazione lineare ${\displaystyle f:V\to V^{*}}$ che mappa nello spazio duale definisce una forma bilineare ${\displaystyle B:V\times V\to F}$ mediante la relazione:

${\displaystyle B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=f(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )}$

Definendo la trasposta di tale funzione come la forma bilineare ${\displaystyle ^{t}B}$ data dalla mappa trasposta ${\displaystyle ^{t}f:V^{**}\to V^{*}}$:

${\displaystyle ^{t}B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=^{t}f(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )}$

si trova che ${\displaystyle B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=^{t}B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$.

Esempi

• ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&4&8\\3&2&0\\5&3&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\quad A^{T}={\begin{pmatrix}2&3&5&0\\4&2&3&1\\8&0&1&0\end{pmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}}\;}$

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&8\\3&4&3\\5&6&1\end{pmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\\8&3&1\end{pmatrix}}\;}$

Idea di calcolo: ruotare la matrice di 90° in senso antiorario, dopodiché scambiare la prima riga con l'ultima, la seconda con la penultima, ecc. (nel primo esempio, dopo aver ruotato la matrice ${\displaystyle A}$ di 90°, la riga 2 rimane invariata, mentre la riga 1 e 3 vengono scambiate).

Alternativamente: immaginare un asse diagonale che parte dal primo elemento in alto a sinistra e prosegue verso il basso, verso destra (45°); dopodiché "riflettere a specchio" la matrice usandolo come asse di simmetria.

Alternativamente ancora: fissare una direzione di lettura della matrice (per esempio, per righe o per colonne), e ciò che nella matrice era la prima riga, nella sua trasposta diventa la prima colonna; ciò che era la seconda riga, diventa la seconda colonna, e via così.

Note

Bibliografia

• (EN) F.R. [F.R. Gantmakher] Gantmacher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, reprint (1959) pp. 19

Voci correlate

• Base duale
• Forma bilineare
• Matrice
• Matrice simmetrica
• Trasformazione lineare
• Spazio duale

Collegamenti esterni

• Matrice trasposta, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Transpose, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Transposed matrix, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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