Esfera

Centro, raio, diâmetro e bola

O nome vem do latim sphaera, derivado do grego antigo σφαῖρα, sphaîra, que significa "bola". O raio ${\displaystyle r}$ é o segmento que vai do centro a um ponto da superfície, mas o mesmo nome também indica o comprimento desse segmento. Se ele for prolongado pelo centro até o lado oposto, forma um diâmetro, nome dado também ao comprimento ${\displaystyle d}$. Nenhum outro segmento entre dois pontos da esfera é maior: ${\displaystyle d=2r}$, e suas extremidades são pontos antípodas.

Ao distinguir a superfície do interior, os matemáticos chamam esfera à superfície fechada bidimensional embutida no espaço euclidiano tridimensional e bola ao sólido que ela delimita. A bola aberta contém os pontos internos e exclui a superfície. A bola fechada inclui a superfície, que é a fronteira do sólido. Em textos matemáticos antigos, o sólido também podia receber o nome de esfera. No plano, a diferença entre circunferência e disco é semelhante.

Se um plano toca a esfera em um único ponto, o raio que termina ali é perpendicular a esse plano tangente. Essa direção perpendicular recebe o nome de normal à superfície.

Seções planas e regiões

Quando um plano atravessa a esfera, a interseção traça uma circunferência sobre a superfície. Se apenas a toca, há um ponto em comum, e, se passa longe, não há nenhum. Assim como as circunferências no plano, as traçadas na esfera podem ser definidas por pontos a uma distância fixa de um ponto. Quando o corte passa pelo centro da esfera, a circunferência é um círculo máximo. As demais são círculos menores.

Como o plano do círculo máximo passa pelo centro da esfera, o círculo tem o mesmo centro e raio que ela e a divide em dois hemisférios iguais.

O plano de uma seção pode ainda separar uma calota esférica, a parte da superfície situada de um dos seus lados. Já o fuso esférico fica entre dois semicírculos máximos, e a cunha esférica correspondente abrange também uma parte do interior da bola. Outras regiões e figuras recebem nomes próprios:

• Hemisfério
• Octante de uma esfera
• Calota esférica
• Fuso esférico
• Polígono esférico
• Setor esférico
• Segmento esférico
• Cunha esférica
• Zona esférica

Construção por rotação

Gire uma circunferência por meia volta em torno de um de seus diâmetros e sua trajetória formará uma esfera, ideia próxima da definição dos Elementos de Euclides. Como a circunferência é um caso particular da elipse, a esfera também é um caso particular do elipsoide de revolução. O giro de uma elipse em torno do eixo maior produz um esferoide prolato, enquanto o giro em torno do eixo menor produz um esferoide oblato.

Equação cartesiana

Na geometria analítica, as coordenadas permitem testar se um ponto pertence à esfera. Para isso, toma-se um centro ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$, um raio ${\displaystyle r}$ e um ponto qualquer ${\displaystyle (x,y,z)}$. A distância entre o ponto e o centro deve ser igual ao raio, condição expressa por

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}$

Com o centro na origem, a condição fica ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}$. O sinal de igualdade seleciona os pontos da superfície. A desigualdade ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}<r^{2}}$ seleciona os pontos internos, e ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r^{2}}$ acrescenta a superfície.

Se o centro for ${\displaystyle (1,2,3)}$ e o raio for ${\displaystyle 2}$, a equação será ${\displaystyle (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=4}$. O ponto ${\displaystyle (1,2,5)}$ satisfaz a igualdade e está na superfície. O centro fica no interior da bola.

Os termos elevados ao quadrado fazem dessa equação um polinômio de segundo grau. Na classificação das superfícies, a esfera é uma quádrica e uma superfície algébrica.

Equação paramétrica

Em vez de testar um ponto por suas três coordenadas, podemos percorrer a superfície variando dois ângulos e mantendo fixo o raio ${\displaystyle r>0}$. Para uma esfera de centro ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$, as funções trigonométricas dão as coordenadas de cada ponto:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \cos \varphi ,\\y&=y_{0}+r\sin \theta \sin \varphi ,\\z&=z_{0}+r\cos \theta .\end{aligned}}}$

Nessa convenção do sistema esférico de coordenadas, ${\displaystyle \theta }$ é medido a partir do eixo ${\displaystyle z}$ positivo e ${\displaystyle \varphi }$, no plano ${\displaystyle xy}$. O raio ${\displaystyle r}$ permanece constante, enquanto ${\displaystyle \theta }$ vai de 0 a ${\displaystyle \pi }$ e ${\displaystyle \varphi }$, de 0 a ${\displaystyle 2\pi }$. Se ${\displaystyle 0<\theta <\pi }$ ficar fixo e ${\displaystyle \varphi }$ variar, o ponto traça uma circunferência paralela ao equador. Os símbolos usados para os dois ângulos podem variar de uma fonte para outra.

Volume delimitado

Para achar o volume da bola, pode-se usar o raio ${\displaystyle r}$ ou o diâmetro ${\displaystyle d}$. As duas formas da expressão abaixo dão o espaço contido pela esfera:

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}d^{3}\approx 0{,}5236d^{3},}$

O expoente três acompanha a unidade de medida: se o raio está em metros, o volume está em metros cúbicos. Em Sobre a Esfera e o Cilindro, por volta de 225 a.C., Arquimedes chegou à fórmula comparando a bola com o cilindro circunscrito de mesma altura e diâmetro. O volume da bola é o dobro do volume da região entre sua superfície e a do cilindro. Pode-se chegar ao mesmo resultado inscrevendo um cone invertido numa semiesfera: a soma das áreas das seções transversais do cone e da semiesfera iguala a área da seção do cilindro. O princípio de Cavalieri permite comparar os volumes.

Também é possível imaginar a bola como uma pilha de discos circulares cada vez mais finos, distribuídos ao longo do eixo ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle -r}$ a ${\displaystyle r}$. O cálculo integral soma os volumes dessas fatias pelo método da integração por discos.

Se uma bola couber exatamente dentro de um cubo, seu diâmetro ${\displaystyle d}$ será igual à aresta do cubo. Pela fórmula ${\displaystyle V=(\pi /6)d^{3}}$, ela ocupa ${\displaystyle \pi /6\approx 0{,}5236}$, cerca de 52,4%, do volume do cubo. Com diâmetro e aresta de 1 m, o volume da bola fica em aproximadamente 0,524 m³.

Demonstração do volume por integração

Em uma posição ${\displaystyle x}$, o acréscimo de volume ${\displaystyle \delta V}$ é aproximadamente a área da seção circular multiplicada pela espessura ${\displaystyle \delta x}$:

${\displaystyle \delta V\approx \pi y^{2}\delta x.}$

A soma desses acréscimos aproxima o volume total:

${\displaystyle V\approx \sum \pi y^{2}\delta x.}$

Quando ${\displaystyle \delta x}$ tende a zero, obtém-se

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi y^{2}\,dx.}$

O raio, a posição ${\displaystyle x}$ da fatia e seu raio ${\displaystyle y}$ formam um triângulo retângulo. Pelo teorema de Pitágoras, ${\displaystyle y^{2}=r^{2}-x^{2}}$. Substituindo essa relação na integral e calculando-a, chega-se a

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})\,dx=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}$

Se as fatias forem organizadas pelas coordenadas esféricas, cada pequeno elemento de volume será dado por

${\displaystyle dV=r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta \,d\varphi .}$

Somar esses elementos para todos os raios e ângulos dá

${\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta \,d\varphi =2\pi \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta =4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\,dr'={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}$

Área da superfície

Para calcular a área da superfície, basta elevar o raio ao quadrado e multiplicar por ${\displaystyle 4\pi }$:

${\displaystyle A=4\pi r^{2}.}$

Para uma calota esférica de altura ${\displaystyle h}$, a área da parte curva é ${\displaystyle A_{\mathrm {calota} }=2\pi rh}$.

Arquimedes chegou à fórmula ao comparar a esfera com a superfície lateral do cilindro circunscrito: projetar uma sobre a outra preserva a área. Outra maneira de entendê-la é dividir a bola em cascas esféricas concêntricas cada vez mais finas, desde o centro até o raio ${\displaystyle r}$. O volume de cada casca se aproxima do produto de sua área pela espessura, e a fórmula da área surge como derivada da expressão do volume em relação ao raio.

Demonstração da área por integração

Tomando ${\displaystyle r}$ como variável, o acréscimo de volume ${\displaystyle \delta V}$ é aproximadamente o produto da área ${\displaystyle A(r)}$ pela espessura ${\displaystyle \delta r}$ da casca:

${\displaystyle \delta V\approx A(r)\delta r.}$

Ao reunir os volumes de todas essas cascas, temos uma aproximação do volume total:

${\displaystyle V\approx \sum A(r)\delta r.}$

Quando as cascas se tornam infinitamente finas e ${\displaystyle \delta r}$ tende a zero, a soma passa a ser escrita como integral:

${\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(u)\,du.}$

Usando a fórmula conhecida ${\displaystyle V=(4/3)\pi r^{3}}$ e derivando os dois lados da igualdade em relação a ${\displaystyle r}$, obtemos a área:

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(u)\,du,\qquad A(r)=4\pi r^{2}.}$

Concluído o cálculo, ${\displaystyle r}$ volta a ser o raio fixo da esfera e a expressão fica ${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$.

Se a superfície for dividida em pequenas regiões pelas coordenadas esféricas, cada elemento de área será ${\displaystyle dA=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }$. A soma das áreas também leva a

${\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =4\pi r^{2}.}$

Propriedade isoperimétrica e superfície específica

Se diferentes superfícies delimitarem o mesmo volume, a esfera terá a menor área. Invertendo a comparação, entre superfícies fechadas com a mesma área, a esfera delimitará o maior volume.

Ao duplicar o raio, a área fica quatro vezes maior, enquanto o volume da bola fica oito vezes maior. Por isso, a razão ${\displaystyle A/V=3/r}$ entre a área e o volume diminui à medida que o raio cresce.

Se a área for comparada com a massa da bola, em vez de seu volume, obtém-se a superfície específica. Para uma bola de densidade ${\displaystyle \rho }$, ela vale

${\displaystyle \mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }},}$

Aqui, a densidade ${\displaystyle \rho }$ é a massa por unidade de volume.

Geometria esférica

Para estudar caminhos sobre a esfera, pense primeiro nas retas que ligam pontos na geometria euclidiana plana. Na superfície esférica, os caminhos equivalentes são as geodésicas, que seguem círculos máximos cujos planos passam pelo centro. Entre dois pontos, o percurso mais curto sobre a superfície é o menor arco de um desses círculos. Se os raios traçados até os pontos formarem um ângulo ${\displaystyle \alpha }$ em radianos, o comprimento de arco será ${\displaystyle s=r\alpha }$.

Os nomes usados para localizar lugares na Terra ajudam a localizar pontos em qualquer esfera, mesmo que a figura da Terra não seja perfeitamente esférica. Uma reta que passa pelo centro define um eixo, semelhante ao eixo de rotação terrestre. Suas interseções com a superfície são dois polos antípodas. Por analogia, eles podem ser chamados de polo norte e polo sul. O círculo máximo a igual distância dos polos é o equador. Os círculos máximos que passam por eles são os meridianos, ou linhas de longitude. Os círculos menores paralelos ao equador são os paralelos, ou círculos de latitude. Fora do estudo de corpos celestes, esses nomes são analogias e precisam ser usados com cuidado.

As regras da geometria plana nem sempre se aplicam à esfera: entre os postulados que falham nela está o postulado das paralelas. Na trigonometria esférica, os ângulos são medidos entre círculos máximos. Os ângulos internos de um triângulo esférico somam mais de 180 graus e, sobre uma mesma esfera, dois triângulos esféricos semelhantes são congruentes. Muitos outros teoremas da geometria clássica continuam válidos.

Nas extremidades de um diâmetro ficam os pontos antípodas, separados, ao longo da superfície, por metade de um círculo máximo. Para outros dois pontos distintos da esfera, que não sejam antípodas, vale o seguinte:

• pertencem a um único círculo máximo.
• dividem esse círculo em um arco menor e um arco maior.
• têm como menor distância sobre a esfera o comprimento do arco menor.

Se cada par de pontos antípodas for tomado como um único ponto, a superfície resultante será o plano projetivo real, usado como modelo de geometria elíptica. Na esfera comum, cada antípoda continua sendo um ponto distinto.

Curvas sobre a superfície

Loxodromia

Ver artigo principal: Loxodromia

Quem segue sempre o mesmo rumo na navegação traça uma loxodromia, caminho que mantém um ângulo constante com a direção norte. Na projeção de Mercator, ela se torna uma reta. Os meridianos, de norte a sul, e os paralelos, de leste a oeste, são casos particulares. Nos demais rumos, a curva se enrola indefinidamente em torno dos polos. Numa Terra modelada como esfera, ou em qualquer esfera com coordenadas esféricas, ela é uma espiral esférica.

Curvas de Clélia

Se a longitude, ou azimute, ${\displaystyle \varphi }$ crescer em proporção constante à colatitude, ou ângulo polar, ${\displaystyle \theta }$, o traçado na esfera será uma curva de Clélia. A relação é ${\displaystyle \varphi =c\theta }$. Essas curvas se tornam retas na projeção equirretangular, e a curva de Viviani corresponde ao caso ${\displaystyle c=1}$.

Cônicas esféricas

Uma seção cônica está para o plano assim como uma cônica esférica está para a esfera. Essa curva é, em geral, quártica e surge da interseção de duas superfícies quadráticas. Há maneiras equivalentes de obtê-la ou defini-la:

• como a interseção da esfera com um cone quadrático de vértice no centro dela.
• como a interseção da esfera com um cilindro elíptico ou hiperbólico cujo eixo passa pelo centro dela.
• no caso da elipse esférica, como o lugar geométrico dos pontos para os quais a soma das distâncias medidas ao longo de círculos máximos a dois focos é constante.

As relações estudadas nas cônicas planas têm correspondentes sobre a esfera, e muitos dos seus teoremas continuam válidos para as cônicas esféricas.

Geometria diferencial

Para medir como a superfície se curva, a geometria diferencial usa os planos tangentes e as direções normais em cada ponto. Na esfera, que é uma superfície suave, a curvatura gaussiana tem sempre o valor ${\displaystyle 1/r^{2}}$. O Theorema Egregium de Gauss permite determinar essa curvatura pela própria superfície, sem depender de como ela está imersa no espaço tridimensional. Ao projetar a esfera sobre um mapa plano, não se consegue preservar ao mesmo tempo áreas e ângulos: toda projeção cartográfica distorce alguma medida.

Ao manter o raio constante no elemento de volume expresso em coordenadas esféricas, obtém-se o elemento de área usado na demonstração da fórmula da superfície.

Em cada ponto de uma esfera centrada na origem, os deslocamentos ao longo da superfície são perpendiculares ao raio. Essa condição faz dela uma superfície integral da forma diferencial

${\displaystyle x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.}$

O vetor posição vai da origem ao ponto da esfera e é perpendicular ao plano tangente nesse ponto. Dividindo-o por ${\displaystyle r}$, obtém-se o vetor normal orientado para fora.

Na geometria riemanniana, a conjectura da área de preenchimento pergunta qual é a menor área de uma superfície orientável que preenche isometricamente um círculo sem criar atalhos entre pontos de sua borda. A resposta proposta é o hemisfério. Há uma demonstração para superfícies com a topologia de um disco, mas a afirmação geral continua em aberto.

Equação quadrática geral

Para reconhecer uma esfera numa equação quadrática mais geral, pode-se completar quadrados e recuperar suas coordenadas centrais e seu raio. Tomem-se números reais ${\displaystyle a,b,c,d,e}$, com ${\displaystyle a\neq 0}$, e definam-se

${\displaystyle x_{0}=-{\frac {b}{a}},\qquad y_{0}=-{\frac {c}{a}},\qquad z_{0}=-{\frac {d}{a}},\qquad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.}$

Com esses coeficientes, a equação geral fica

${\displaystyle f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0}$

Depois de completar quadrados, ela se torna ${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=\rho }$. Se ${\displaystyle \rho <0}$, não há pontos reais que a satisfaçam, e fala-se em esfera imaginária. Para ${\displaystyle \rho =0}$, resta somente o ponto ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$, a esfera pontual. Com ${\displaystyle \rho >0}$, obtém-se uma esfera de centro ${\displaystyle P_{0}}$ e raio ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}}$.

Quando ${\displaystyle a=0}$ e ao menos um dos coeficientes ${\displaystyle b,c,d}$ difere de zero, a mesma forma ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ passa a ser a equação de um plano. É possível interpretá-lo como uma esfera cujo raio cresce sem limite e cujo centro é um ponto no infinito.

Interseções de esferas

Quando duas esferas não concêntricas se cortam, os pontos comuns formam uma circunferência num plano chamado plano radical. As equações ainda permitem encontrar um plano radical real se as esferas não tiverem pontos em comum, mas a circunferência calculada nesse caso é imaginária. Se uma esfera apenas tocar a outra, haverá um único ponto de interseção.

Nos pontos em que duas esferas se encontram, seus planos tangentes formam um ângulo diedro. Ele tem a mesma medida ao longo de toda a circunferência de interseção. Se o quadrado da distância entre os centros for igual à soma dos quadrados dos raios, as esferas se cortam em ângulo reto e são ortogonais. A condição também vale no sentido inverso.

Interseções com outras superfícies

Quando o eixo de uma superfície de revolução passa pelo centro de uma esfera, diz-se que as superfícies são coaxiais. Seu encontro, se houver, forma circunferências ou pontos. No caso do cilindro ao lado, são duas circunferências. Se o raio do cilindro fosse igual ao da esfera, haveria uma única circunferência em comum. Com raio maior, não haveria interseção.

Ao deslocar o eixo de um cilindro para fora do centro da esfera, a curva em que eles se encontram pode deixar de ser circular. Para examinar um desses casos, tome-se a esfera

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}$

e o cilindro

${\displaystyle (y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2},\qquad y_{0}\neq 0}$

Nessas posições, a interseção pode ser mais complicada que uma ou duas circunferências. Os pontos comuns devem satisfazer as duas equações ao mesmo tempo, no sistema não linear

${\displaystyle {\begin{cases}x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0,\\(y-y_{0})^{2}+z^{2}-a^{2}=0.\end{cases}}}$

O traçado ao lado corresponde a um dos resultados possíveis para essa curva implícita.

Caracterizações de Hilbert e Cohn-Vossen

Uma propriedade pode valer para a esfera sem ser suficiente para distingui-la de todas as outras superfícies. Em Geometry and the Imagination, David Hilbert e Stephan Cohn-Vossen examinam onze propriedades desse tipo e investigam quais caracterizam a esfera por si sós. Algumas valem também para o plano, entendido como o limite de uma esfera cujo raio cresce sem parar:

1. Todos os pontos da esfera estão à mesma distância de um ponto fixo. A razão entre as distâncias de cada ponto a dois pontos fixos também é constante.

   A primeira afirmação dá a definição usual da esfera. Da mesma definição pode-se deduzir a segunda, ligada a um resultado de Apolônio de Perga sobre a circunferência de Apolônio. A razão constante também ocorre no plano.

2. Os contornos e as seções planas da esfera são circunferências.

   Se todos os contornos e cortes planos de uma superfície forem circunferências, essa propriedade basta para caracterizar a esfera.

3. A esfera tem largura e perímetro de projeção constantes.

   Meça a distância entre dois planos tangentes paralelos a uma superfície: essa é sua largura naquela direção. Outras superfícies convexas fechadas, como o corpo de Meissner, mantêm a mesma largura em todas as direções. O perímetro de projeção mede o contorno da projeção ortogonal da superfície num plano. Cada uma dessas duas constâncias implica a outra.

4. Todos os pontos da esfera são umbílicos.

   Imagine planos passando pela direção normal em um ponto, perpendicular ao plano tangente. Cada corte forma uma seção normal, cuja curvatura normal pode depender da direção escolhida. Os valores extremos são as curvaturas principais. Num ponto umbílico, todas essas curvaturas são iguais e a superfície se aproxima localmente de uma esfera. Na esfera, as normais passam pelo centro e todos os pontos são umbílicos. Apenas o plano e a esfera têm essa propriedade.

5. A esfera não tem superfície dos centros.

   Para cada seção normal, pode-se traçar uma circunferência de curvatura tangente à superfície, com o centro sobre a reta normal. Os centros ligados às curvaturas máxima e mínima são os pontos focais. Reunidos, eles formam a superfície focal, que na maioria das superfícies tem duas folhas unidas nos pontos umbílicos:

   • Nas superfícies canal, uma folha forma uma curva e a outra é uma superfície.
   • Nos cones, cilindros, toros e cíclides, as duas folhas formam curvas.
   • Na esfera, todos os centros das circunferências osculadoras coincidem com seu centro. A superfície focal reduz-se a um único ponto, propriedade exclusiva da esfera.

6. Todas as geodésicas da esfera são curvas fechadas.

   Sobre uma superfície, as geodésicas seguem o caminho localmente mais curto entre pontos, como as retas fazem no plano. Na esfera, elas percorrem círculos máximos e acabam retornando ao ponto de partida. Outras superfícies também têm geodésicas fechadas.

7. Entre todos os sólidos de volume dado, o delimitado por uma esfera tem a menor área superficial. Entre os sólidos de área superficial dada, tem o maior volume.

   A desigualdade isoperimétrica, usada acima para comparar área e volume, expressa essa propriedade e caracteriza a esfera.

8. A esfera tem a menor curvatura média total entre os sólidos convexos de mesma área superficial.

   Calcula-se a curvatura média pela média das duas curvaturas principais. Na esfera, elas têm o mesmo valor em todos os pontos.

9. A esfera tem curvatura média constante.

   Para uma superfície compacta, conexa, embutida no espaço euclidiano tridimensional e sem borda, a curvatura média constante determina uma esfera. Sem exigir que a superfície seja embutida, há outros casos, como as superfícies mínimas.

10. A esfera tem curvatura gaussiana positiva constante.

    Multiplique as duas curvaturas principais para obter a curvatura gaussiana. Ela pode ser medida por comprimentos e ângulos na própria superfície, sem depender de como esta está imersa no espaço. Dobrá-la sem esticá-la não altera essa curvatura. Uma pequena fenda e uma dobra na esfera podem produzir outras superfícies com curvatura gaussiana positiva constante, mas essas superfícies terão borda. Entre as superfícies regulares, compactas e conexas imersas no espaço euclidiano tridimensional, só a esfera tem essa curvatura positiva constante. A pseudoesfera tem curvatura gaussiana negativa constante.

11. Uma família de movimentos rígidos com três parâmetros transforma a esfera nela mesma.

    Ao girar uma esfera unitária em torno de qualquer eixo que passe pela origem, sua superfície coincide com a posição anterior. Essas rotações podem ser expressas por giros em torno dos três eixos coordenados, como nos ângulos de Euler. O conjunto de rotações com três parâmetros é o grupo SO(3). O plano é a única outra superfície com uma família de simetrias rígidas de três parâmetros, formada por translações em duas direções e rotações em torno da origem. Cilindros circulares admitem famílias de dois parâmetros. As superfícies de revolução e os helicoides admitem famílias de um parâmetro.

Elipsoides

Ao esticar ou comprimir uma esfera em uma ou mais direções, obtém-se um elipsoide. Em linguagem geométrica, ele é a imagem da esfera por uma transformação afim, assim como uma elipse pode ser obtida de uma circunferência.

Esferas em outras dimensões

A mesma ideia de distância fixa ao centro funciona em espaços com outro número de dimensões. Para cada número natural ${\displaystyle n}$, a ${\displaystyle n}$-esfera reúne os pontos de um espaço euclidiano com ${\displaystyle n+1}$ dimensões que ficam a uma distância ${\displaystyle r>0}$ do centro. Os primeiros casos são:

• para centro na origem, a 0-esfera consiste em dois pontos isolados, ${\displaystyle -r}$ e ${\displaystyle r}$.
• a 1-esfera é uma circunferência de raio ${\displaystyle r}$.
• a 2-esfera é uma esfera comum.
• a 3-esfera é uma Esfera tridimensional no espaço euclidiano de quatro dimensões.

Para ${\displaystyle n>2}$, usa-se às vezes o nome hiperesfera. Uma ${\displaystyle n}$-esfera de raio unitário centrada na origem é indicada por ${\displaystyle S^{n}}$ e muitas vezes chamada apenas de "a" ${\displaystyle n}$-esfera. Nessa contagem, a esfera comum é uma 2-esfera: sua superfície tem duas dimensões, ainda que esteja imersa no espaço tridimensional.

Na topologia, a ${\displaystyle n}$-esfera é uma variedade topológica compacta sem fronteira. Essas condições não exigem que ela seja suave. Mesmo quando é suave, em certas dimensões mais altas pode não ser difeomorfa à esfera euclidiana da mesma dimensão. Uma variedade desse tipo é chamada esfera exótica, e John Milnor construiu exemplos em dimensão sete.

Quando a função contínua ${\displaystyle \|x\|}$ mede a distância de um ponto à origem, a esfera reúne os pontos para os quais ela dá um mesmo valor. Ela é a imagem inversa de um conjunto formado por um único número e, por isso, é fechada. Como ${\displaystyle S^{n}}$ também é limitada, o teorema de Heine-Borel garante que ela é compacta.

Esferas em espaços métricos

Num espaço métrico ${\displaystyle (E,d)}$, a distância ao centro ainda define a esfera, mesmo sem coordenadas. Escolhidos um centro ${\displaystyle x}$, um raio ${\displaystyle r>0}$ e uma regra de distância ${\displaystyle d}$, ela terá todos os pontos ${\displaystyle y}$ para os quais ${\displaystyle d(x,y)=r}$.

Quando o espaço ${\displaystyle E}$ já tem uma origem escolhida, como ocorre num espaço normado, a notação pode deixar o centro implícito. O raio também pode ficar implícito se for igual a um, caso da esfera unitária.

Em certos espaços métricos, uma bola grande contém pontos, mas a esfera de mesmo raio pode ser vazia se não houver pontos à distância exata do centro. Em ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ com a métrica euclidiana, uma esfera de raio ${\displaystyle r}$ só terá pontos se ${\displaystyle r^{2}}$ puder ser escrito como soma de ${\displaystyle n}$ quadrados de inteiros.

Mudar a regra de distância pode mudar até a forma da esfera. No espaço tridimensional, a esfera unitária da geometria do táxi tem a superfície de um octaedro. Se for usada a distância de Chebyshev, ela terá a superfície de um cubo.

Formas naturais e modelos geográficos

A tensão superficial puxa a superfície de bolhas de sabão e pequenas gotas de água para uma forma de área menor, que se aproxima da esfera quando o volume é fixo. A gravidade e outras forças externas podem deformá-las.

Em corpos celestes de massa suficiente, a gravidade tende a produzir uma forma aproximadamente esférica. Para alguns problemas, uma esfera basta como modelo da Terra. A geodésia usa um elipsoide como modelo geométrico básico e, quando precisa de mais detalhes, o geoide. Esferas ou bolas pequenas às vezes recebem o nome de esférulas, como as esférulas marcianas.

Objetos fabricados e metrologia

Bolas, rolamentos, vasos de pressão, espelhos curvos e lentes usam a forma esférica. Para o experimento Gravity Probe B, foram feitos giroscópios de quartzo fundido revestidos de nióbio que diferiam de uma esfera perfeita por menos de 40 camadas atômicas. Um deles está na imagem ao lado.

O projeto internacional de Avogadro usou esferas de silício-28 cujas forma, dimensões e estrutura cristalina foram medidas com grande precisão para determinar a constante de Avogadro. Duas delas, polidas pelo Instituto Nacional de Medições da Austrália, chegaram ao instituto alemão PTB em abril de 2008 para medições de forma, volume e massa. Desde 20 de maio de 2019, a definição do quilograma usa um valor fixado para a constante de Planck, sem depender de uma esfera material.