Spazio vettoriale quoziente

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, lo spazio vettoriale quoziente o spazio quoziente è uno spazio vettoriale ottenuto da una coppia di spazi vettoriali $U \subset V$ uno contenuto nell'altro. Lo spazio quoziente si ottiene "collassando" $U$ allo zero. Si indica con $V / U$ , che si legge $V$ mod $U$ .

Definizione

Dato uno spazio vettoriale $V$ ed un sottospazio vettoriale $U$ , lo spazio quoziente $V / U$ è l'insieme quoziente di $V$ (cioè l'insieme delle classi di equivalenza su $V$ ) determinato dalla relazione d'equivalenza:

v \sim v^{'} \Leftrightarrow v - v^{'} \in U

Cioè, $v$ è equivalente a $v^{'}$ se uno può essere ottenuto dall'altro aggiungendo un elemento del sottospazio $U$ .

La classe di equivalenza di $v$ è spesso denotata con:

[v] = v + U

dal momento che è data da:

[v] = {v + u : u \in U}

Lo spazio quoziente $V / U$ è quindi definito come $V / \sim$ , l'insieme di tutte le classi di equivalenza su $V$ per $\sim$ . La funzione che associa ad un vettore $x \in V$ la classe di equivalenza $[x]$ è detta mappa quoziente.

Come nella costruzione di un gruppo quoziente, addizione e moltiplicazione per scalare "passano al quoziente": sono cioè definite in $V / U$ prendendo dei rappresentanti qualsiasi delle classi d'equivalenza. La dimensione dello spazio quoziente si dice codimensione di $U$ in $V$ . Se $V$ è finito-dimensionale, questo è esattamente:

{codim}_{V} (U) = \dim (V) - \dim (U)

Lo spazio quoziente è uno spazio vettoriale astratto, non necessariamente isomorfo a un sottospazio di $V$ .

Ad esempio, sia $X = ℝ^{2}$ l'usuale piano cartesiano e $Y$ una retta passante per l'origine. Allora, assumendo che ogni retta è parallela a se stessa, lo spazio quoziente $X / Y$ rispetto alla relazione di parallelismo tra rette può essere identificato come l'insieme di tutte le rette in $X$ parallele a $Y$ . In generale, se $V$ è una somma diretta di sottospazi $U$ e $W$ :

V = U \oplus W

allora il quoziente $V / U$ è naturalmente isomorfo a $W$ . Un importante esempio di spazio funzionale quoziente è lo spazio L^p.

Proprietà

Somma diretta

In presenza di una somma diretta:

V = U \oplus W

lo spazio quoziente $V / U$ è isomorfo in modo naturale a $W$ . L'isomorfismo è dato da:

v = u + w \mapsto w

dove un elemento $v$ di $V$ è scritto in un unico modo come $u + w$ , con $u, w$ appartenenti rispettivamente a $U, W$ .

Dimensioni

Vale la successione esatta corta di spazi vettoriali:

0 \to U \to V \to V / U \to 0

In particolare:

\dim V / U = \dim V - \dim U

Spazi di Banach

Se $X$ è uno spazio di Banach e $M$ un sottospazio chiuso di $X$ , allora il quoziente $X / M$ è ancora uno spazio di Banach. Per definire una norma su $X / M$ si pone:

‖ [x] ‖_{X / M} = inf_{m \in M} ‖ x - m ‖_{X}

Lo spazio vettoriale quoziente $X / M$ è dunque completo rispetto alla norma.

Esempi

Sia $C [0, 1]$ lo spazio di Banach delle funzioni continue a valori reali e definite sull'intervallo $[0, 1]$ , equipaggiato con la norma del sup. Sia $M$ il sottospazio delle funzioni tali che $f (0) = 0$ . Allora la classe di equivalenza di qualche funzione $g$ è determinata dal suo valore in $0$ , e lo spazio quoziente $C [0, 1] / M$ è isomorfo a $ℝ$ .

Se $X$ è uno spazio di Hilbert allora lo spazio quoziente $X / M$ è isomorfo al complemento ortogonale di $M$ .

Generalizzazione a spazi localmente convessi

Lo spazio quoziente di uno spazio localmente convesso per un sottospazio chiuso è ancora localmente convesso. Infatti, si supponga $X$ uno spazio localmente convesso in cui la topologia è generata da una famiglia di seminorme ${p_{α} : α \in A}$ , con $A$ un insieme di indici. Sia $M$ un sottospazio chiuso e si definiscano le seminorme $q_{α}$ su $X / M$ nel seguente modo:

q_{α} ([x]) = inf_{x \in [x]} p_{α} (x)

Allora $X / M$ è localmente convesso e la topologia definita su di esso è la topologia quoziente. Se inoltre $X$ è metrizzabile allora lo è anche $X / M$ . Se $X$ è uno spazio di Fréchet allora lo è anche $X / M$ .

Bibliografia

(EN) Paul Halmos, Finite dimensional vector spaces, Springer, 1974, ISBN 978-0-387-90093-3.
(EN) Jean Dieudonné, Treatise on analysis, Volume II, Academic Press, 1970.

Voci correlate

Collegamenti esterni

spazio vettoriale, quoziente di uno, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Eric W. Weisstein, Quotient Vector Space, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) math.mcmaster.ca - Vector Space Quotients (PDF), su ms.mcmaster.ca. URL consultato il 20 febbraio 2014 (archiviato dall'url originale il 24 febbraio 2014).

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