Funzione iniettiva

In matematica, una funzione iniettiva (detta anche funzione ingettiva oppure iniezione) è una funzione che associa, a elementi distinti del dominio, elementi distinti del codominio.

In altre parole: una funzione da un insieme ${\displaystyle X}$ a un insieme ${\displaystyle Y}$ è iniettiva se ogni elemento di ${\displaystyle Y}$ non può essere ottenuto in più modi diversi partendo dagli elementi di ${\displaystyle X}$.

Definizione

Una funzione ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ si dice iniettiva se due elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, ossia ${\displaystyle a_{1}\neq a_{2}}$ implica ${\displaystyle f(a_{1})\neq f(a_{2})}$; equivalentemente, se due elementi del dominio hanno la stessa immagine allora coincidono necessariamente, ossia ${\displaystyle f(a_{1})=f(a_{2})}$ implica ${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$.

Simbolicamente:

${\displaystyle \forall x,y\in X,\;\;f(x)=f(y)\Rightarrow x=y}$

oppure, nella forma contronominale:

${\displaystyle \forall x,y\in X,\;\;x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y).}$

Proprietà

Grafico

Se ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ è una funzione iniettiva, allora ogni elemento dell'immagine ${\displaystyle {\text{Im}}(f)=f(X)=\{f(a)\mid a\in X\}}$ è immagine di esattamente un elemento del dominio, e la proiezione del grafico ${\displaystyle \Gamma (f)=\{(a,b)\in X\times Y\mid f(a)=b\}}$ sulla seconda coordinata è una funzione iniettiva.

In particolare, se ${\displaystyle f}$ è una funzione reale di una variabile reale iniettiva, qualunque retta parallela all'asse delle ${\displaystyle x}$ intersecherà il grafico della funzione in al massimo un punto. Se inoltre la funzione iniettiva è definita e continua su un intervallo, allora è strettamente monotòna (strettamente crescente o strettamente decrescente).

Viceversa, se ${\displaystyle f}$ è una funzione reale di variabile reale non iniettiva, allora esistono due elementi del dominio che hanno la stessa immagine, ${\displaystyle f(a_{1})=f(a_{2})=b}$. Dunque la retta ${\displaystyle y=b}$ interseca il grafico ${\displaystyle \Gamma (f)}$ in almeno due punti: ${\displaystyle (a_{1},b)}$ e ${\displaystyle (a_{2},b)}$.

Invertibilità

L'iniettività è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'invertibilità.

Una funzione iniettiva ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ non è in generale invertibile, perché dovrebbe essere anche suriettiva. Restringendo però il codominio all'immagine si ottiene una diversa funzione ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to f(X)}$, invertibile.

Una funzione invertibile ${\displaystyle f}$ è iniettiva, ed anche la sua inversa ${\displaystyle f^{-1}}$, essendo invertibile, è iniettiva.

Ulteriori caratterizzazioni dell'iniettività

Quelle che seguono sono formulazioni equivalenti alla definizione dell'iniettività di una funzione ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ e, pertanto, sono interpretabili come ulteriori caratterizzazioni della stessa proprietà.

• Ogni elemento del codominio ${\displaystyle B}$ ha al più un elemento del dominio ${\displaystyle A}$ come propria controimmagine e la controimmagine dell'intero codominio ${\displaystyle B}$ è tutto il dominio ${\displaystyle A}$.
• Esistenza di un'inversa sinistra: esiste una funzione ${\displaystyle g:B\rightarrow A}$ tale che ${\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{A}.}$
• Cancellabilità a sinistra per composizione: per ogni insieme ${\displaystyle T}$ e per ogni funzione ${\displaystyle g:T\rightarrow A,}$ e ${\displaystyle h:T\rightarrow A,}$ tali che ${\displaystyle f\circ g=f\circ h,}$ si ha ${\displaystyle g=h.}$
• Identità della controimmagine dell'immagine di qualunque sottoinsieme del dominio: per ogni ${\displaystyle S\subseteq A,}$ si ha ${\displaystyle f^{-1}(f(S))=S.}$

Esempi

• Su ogni insieme ${\displaystyle X}$ la funzione identità ${\displaystyle id_{X}\colon X\to X\colon x\mapsto x}$ è iniettiva (e suriettiva).
• L'inclusione ${\displaystyle \imath \colon Y\hookrightarrow X}$ di un sottoinsieme ${\displaystyle Y\subset X}$ in ${\displaystyle X}$, essendo restrizione dell'identità ${\displaystyle id_{X}}$, è iniettiva.
• Una funzione definita su un insieme con un solo elemento, ${\displaystyle f\colon \{x\}\to Y}$, è iniettiva.
• Una funzione definita sull'insieme vuoto, ${\displaystyle f\colon \emptyset \to Y}$, è iniettiva.
• Una funzione costante, ${\displaystyle f_{y}\colon X\to Y\colon x\mapsto y}$, definita su un dominio con almeno due elementi, non è iniettiva.
• Per ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle a\neq 0}$, la funzione ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto ax+b}$ è iniettiva (e suriettiva).
• La funzione esponenziale ${\displaystyle \exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ non è iniettiva.
• La funzione esponenziale ${\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ è iniettiva.
• La funzione logaritmo, ${\displaystyle \log \colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} }$, è iniettiva.
• Una funzione reale derivabile, ${\displaystyle f\in D^{1}(\mathbb {R} )}$, la cui derivata sia sempre strettamente positiva, o sempre strettamente negativa, è iniettiva.
• Una funzione reale derivabile, ${\displaystyle f\in D^{1}(\mathbb {R} )}$, la cui derivata cambi segno, non è iniettiva.
• La funzione quadrato ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \colon x\mapsto x^{2}}$ è iniettiva.
• La funzione quadrato ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto x^{2}}$ non è iniettiva.
• La funzione cubo ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto x^{3}}$ è iniettiva.
• La funzione cubo ${\displaystyle f\colon \mathbb {F} _{7}\to \mathbb {F} _{7}\colon x\mapsto x^{3}}$ non è iniettiva.
• Una funzione periodica (come seno e coseno) non è iniettiva.

Note

Bibliografia

• I. N. Herstein, Algebra, Roma, Editori Riuniti, 1995, ISBN 88-359-3634-9.
• Thomas W. Hungerford, Algebra, New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90518-9.
• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.

Voci correlate

• Funzione suriettiva
• Funzione biiettiva
• Immersione (matematica)

Altri progetti

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulle funzioni iniettive

Collegamenti esterni

• funzione iniettiva, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) injection, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione iniettiva, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Funzione iniettiva, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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