Mollificatore

In matematica, più precisamente in analisi funzionale, un mollificatore è una funzione di variabile reale che soddisfa certe proprietà di regolarità e di limitatezza del supporto.

Le successioni di mollificatori sono usate spesso per approssimare (in un senso ben preciso) funzioni che presentano delle discontinuità o degli "angoli" mediante funzioni più regolari, che localmente sono costruite tramite una media integrale del valore della funzione nel punto.

Definizione

Un mollificatore è una funzione $ρ : ℝ^{n} \to ℝ$ che soddisfa le seguenti proprietà:

$ρ \in C^{\infty} (ℝ^{n})$
$supp (ρ) \subset B (0, \frac{1}{n})$
$ρ \geq 0$
$\int_{ℝ^{n}} ρ = 1$

dove con $supp (ρ)$ si intende il supporto di $ρ$ , cioè la chiusura dell'insieme di punti dove $ρ$ non si annulla, e $B (0, \frac{1}{n})$ è la palla centrata nell'origine di raggio $1 / n$ .

Si dimostra che esistono infinite successioni di mollificatori; una possibile costruzione è la seguente:

ρ_{1} (x) = {\begin{matrix} e^{\frac{1}{| | x | |^{2} - 1}} & se | | x | | < 1 \\ 0 & se | | x | | \geq 1 \end{matrix}

ρ_{n} (x) = c_{n} ρ_{1} (n x)

dove $c_{n}$ è una costante che normalizza l'integrale a 1.

Proprietà e utilizzi

In analisi funzionale e teoria delle distribuzioni si lavora di solito con funzioni "regolari", cioè possedenti un certo numero di derivate, costruendo strumenti per estrapolare informazioni e dare risultati su esse. Se ciò non è possibile, si tenta di "regolarizzare" una funzione, cioè approssimarla con funzioni regolari, che tendano alla funzione originaria in una certa topologia funzionale.

I mollificatori si prestano bene allo scopo: se ad es. $u : ℝ^{n} \to ℝ$ è la funzione da regolarizzare (ad esempio localmente integrabile), allora la funzione:

ρ * u (x) = \int_{ℝ^{n}} ρ (y) u (x - y) d y

per le proprietà della convoluzione è liscia e dunque altamente regolare. Tale funzione si presenta come una media pesata dei valori di $u$ per punti vicini a $x$ , in quanto per definizione di $ρ$ l'integranda è non nulla solo in una palla centrata in $x$ di raggio $1 / n$ e assume valori massimi (che quindi per l'integrale "contano" di più) per valori molto vicini a $x$ .

La bontà di questa costruzione è assicurata dai seguenti risultati:

Se $u$ è continua allora $ρ_{n} * u$ converge a $u$ uniformemente sui compatti.

Se $u \in L^{p} (ℝ^{n})$ , con $p < \infty$ , allora $ρ_{n} * u$ converge a $u$ in norma $L^{p}$ .

Quest'ultimo risultato consente anche di dimostrare che lo spazio delle funzioni test è denso sia in $L^{p}$ che nello spazio di Sobolev $W^{1, p}$ per $p < \infty$ .

Note

↑ H. Brezis, p. 111.

Bibliografia

Haïm Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Napoli, Liguori, 1990, ISBN 88-207-1501-5.

Voci correlate

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] H. Brezis, p. 111.

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili	Analisi matematica
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy