Logarytm
Dzieło Logarithmorum canonis descriptio Johna Napiera z 1620 roku, w którym podpisuje się on nazwiskiem „Neper”. Logarytmy dlá szkół narodowych Ignacego Zaborowskiego , publikacja Towarzystwa do Ksiąg Elementarnych z 1787 .Logarytm (łac. [now.] logarithmus – stosunek , z gr. λόγ- log- , od λόγος logos – zasada, rozum, słowo, i ἀριθμός árithmós – liczba) – dla danych liczb
a
,
b
>
0
,
a
≠
1
{\displaystyle a,b>0,\;a\neq 1}
log
a
b
{\displaystyle \log _{a}b}
a
x
=
b
.
{\displaystyle a^{x}=b.}
Eulera . Liczba
a
{\displaystyle a}
podstawą (zasadą) logarytm u, liczba
b
{\displaystyle b}
liczbą logarytmowaną (niekiedy antylogarytmem swojego logarytmu, patrz: antylogarytm ). Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę
a
,
{\displaystyle a,}
b
{\displaystyle b}
Przykłady
log
2
8
=
3
,
{\displaystyle \log _{2}8=3,}
2
3
=
8
,
{\displaystyle 2^{3}=8,}
log
10
10000
=
4
,
{\displaystyle \log _{10}10000=4,}
10
4
=
10000.
{\displaystyle 10^{4}=10000.}
Logarytmy po raz pierwszy opisali w XVI wieku matematycy : Szkot John Napier i Anglik Henry Briggs . Były odpowiedzią na konieczność wykonywania żmudnych i czasochłonnych obliczeń w związku z burzliwie rozwijającymi się wówczas astronomią, nawigacją i handlem. Natomiast Euler był pierwszym matematykiem, który przedstawił logarytmy liczb zespolonych . Historycznie praca Eulera na ten temat była pierwszą analizą funkcji przestępnej więcej niż jednej zmiennej.
Pozwalały zamienić mnożenie , dzielenie , pierwiastkowanie na łatwiejsze odpowiednio dodawanie , odejmowanie i dzielenie przez liczbę naturalną . Tablice logarytmiczne i suwaki logarytmiczne stały się podstawową pomocą we wszelkich obliczeniach naukowych, astronomicznych, geodezyjnych i inżynierskich. Współcześnie, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, ich użytkowa rola jest dużo mniejsza.
Logarytm przy ustalonej podstawie
a
>
0
,
a
≠
1
{\displaystyle a>0,a\neq 1}
funkcję logarytmiczną
f
a
:
R
+
→
R
{\displaystyle f_{a}\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} }
f
a
:
x
↦
f
a
(
x
)
=
log
a
x
.
{\displaystyle f_{a}\colon x\mapsto f_{a}(x)=\log _{a}x.}
schemat działania suwaka logarytmicznego pokazujący, jak dwie skale logarytmiczne pozwalają zamienić mnożenie
2
⋅
3
=
6
{\displaystyle 2\cdot 3=6}
log
2
+
log
3
=
log
6
{\displaystyle \log 2+\log 3=\log 6}
Logarytm jest działaniem zewnętrznym :
log
:
R
+
∖
{
1
}
×
R
+
→
R
{\displaystyle \log \colon \;\mathbb {R} _{+}\!\!\setminus \!\!\{1\}\times \mathbb {R} _{+}\;\to \;\mathbb {R} }
log
a
b
=
c
⇔
a
c
=
b
{\displaystyle \log _{a}b=c\Leftrightarrow a^{c}=b}
(zamiast
log
(
a
,
b
)
{\displaystyle \log(a,b)}
log
a
b
{\displaystyle \log _{a}b}
Logarytm jest więc działaniem odwrotnym do potęgowania . Z własności potęgowania wynika poprawność tak zdefiniowanego działania, tzn.
dla każdych
a
,
b
>
0
,
a
≠
1
{\displaystyle a,b>0,\;a\neq 1}
c
=
log
a
b
.
{\displaystyle c=\log _{a}b.}
Jest też odwrotnie:
dla dowolnej liczby
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
a
>
0
,
a
≠
1
{\displaystyle a>0,\;a\neq 1}
b
>
0
{\displaystyle b>0}
c
=
log
a
b
;
{\displaystyle c=\log _{a}b;}
dla dowolnej liczby
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
b
>
0
{\displaystyle b>0}
a
>
0
,
a
≠
1
{\displaystyle a>0,a\neq 1}
c
=
log
a
b
.
{\displaystyle c=\log _{a}b.}
Oznacza to, że przy ustalonym
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
log
{\displaystyle \log }
różnowartościową suriekcją na zbiór
R
.
{\displaystyle \mathbb {R} .}
Logarytm binarny
Osobny artykuł: logarytm binarny . Logarytm o podstawie równej 2.
Logarytm naturalny
Logarytm naturalny , nazywany często logarytmem Nepera , to logarytm o podstawie oznaczanej literą
e
{\displaystyle e}
2,718
281828.
{\displaystyle 2{,}718281828.}
log
e
x
{\displaystyle \log _{e}x}
ln
x
.
{\displaystyle \ln x.}
funkcji wykładniczej
exp
,
{\displaystyle \exp ,}
exp
(
1
)
=
e
,
{\displaystyle \exp(1)=e,}
exp
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
x
k
k
!
,
{\displaystyle \exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},}
wtedy jej pochodna (również formalna )
(
exp
x
)
′
=
exp
x
,
{\displaystyle (\exp x)'=\exp x,}
(
ln
x
)
′
=
1
x
{\displaystyle (\ln x)'={\tfrac {1}{x}}}
(
log
a
x
)
′
=
1
x
ln
a
,
{\displaystyle (\log _{a}x)'={\tfrac {1}{x\ln a}},}
ln
e
=
1.
{\displaystyle \ln e=1.}
logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego
e
{\displaystyle e}
liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.
Zapis bez indeksu
log
x
{\displaystyle \log x}
lg
x
{\displaystyle \lg \;x}
logarytm dziesiętny Briggsa ), czyli mający u swej podstawy liczbę 10:
log
x
=
lg
x
=
log
10
x
.
{\displaystyle \log x=\lg x=\log _{10}x.}
Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności
log
(
x
)
{\displaystyle \log(x)}
językach programowania , choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny.
Istnieje pewna zależność wartości logarytmu liczby od liczby cyfr przed przecinkiem potrzebnych do jej zapisania:
Dla dowolnej liczby
x
>
1
∧
x
¬
1
∗
10
n
,
n
∈
N
{\displaystyle x>1\land x\neg 1*10^{n},n\in \mathbb {N} }
sufit ) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym
x
,
{\displaystyle x,}
log
5083495,424
=
6,706
1624.
{\displaystyle \log 5083495{,}424=6{,}7061624.}
Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem. Trzeba jednak pamiętać o poniższych wartościach:
log
1
=
0
,
log
10
=
1
,
log
100
=
2
,
…
{\displaystyle \log 1=0,\,\log 10=1,\,\log 100=2,\dots }
Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie
b
,
{\displaystyle b,}
b
.
{\displaystyle b.}
Jeśli
a
,
b
,
c
,
x
,
y
∈
R
{\displaystyle a,b,c,x,y\in \mathbb {R} }
a
>
0
,
a
≠
1
{\displaystyle a>0,\quad a\neq 1}
b
>
0
,
c
>
0
,
x
>
0
,
y
>
0
{\displaystyle b>0,\quad c>0,\quad x>0,\quad y>0}
to dla logarytmów zachodzą następujące własności:
Wzory redukcyjne
log
a
(
1
)
=
0
{\displaystyle \log _{a}(1)=0}
log
a
(
a
)
=
1
{\displaystyle \log _{a}(a)=1}
log
a
(
a
x
)
=
x
{\displaystyle \log _{a}(a^{x})=x}
log
a
(
x
y
)
=
log
a
(
x
)
+
log
a
(
y
)
{\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)}
log
a
(
x
y
)
=
log
a
(
x
)
−
log
a
(
y
)
{\displaystyle \log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}
log
a
(
x
b
)
=
b
log
a
(
x
)
{\displaystyle \log _{a}(x^{b})=b\log _{a}(x)}
log
a
(
x
c
b
)
=
c
b
log
a
(
x
)
{\displaystyle \log _{a}\!\left({\sqrt[{b}]{x^{c}}}\right)={\frac {c}{b}}\log _{a}(x)}
log
a
(
x
)
=
−
log
a
(
1
x
)
{\displaystyle \log _{a}(x)=-\log _{a}({\frac {1}{x}})}
log
a
(
b
)
⋅
l
o
g
b
(
c
)
=
log
a
(
c
)
{\displaystyle \log _{a}(b)\cdot log_{b}(c)=\log _{a}(c)}
log
a
(
∏
i
=
1
n
x
i
)
=
∑
i
=
1
n
log
a
(
x
i
)
{\displaystyle \log _{a}\!\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\log _{a}(x_{i})}
Dowody
Z definicji logarytmu:
a
0
=
1
{\displaystyle a^{0}=1}
Zatem:
log
a
(
1
)
=
0
{\displaystyle \log _{a}(1)=0}
q.e.d.
Z definicji logarytmu:
a
1
=
a
{\displaystyle a^{1}=a}
Zatem:
log
a
(
a
)
=
1
{\displaystyle \log _{a}(a)=1}
q.e.d.
Niech:
y
=
a
x
{\displaystyle y=a^{x}}
Wówczas:
log
a
(
y
)
=
x
{\displaystyle \log _{a}(y)=x}
Zatem:
log
a
(
a
x
)
=
x
{\displaystyle \log _{a}(a^{x})=x}
q.e.d.
Niech:
log
a
(
x
)
=
m
,
log
a
(
y
)
=
n
{\displaystyle \log _{a}(x)=m,\quad \log _{a}(y)=n}
Wówczas:
x
=
a
m
,
y
=
a
n
{\displaystyle x=a^{m},\quad y=a^{n}}
Zatem:
x
y
=
a
m
⋅
a
n
=
a
m
+
n
{\displaystyle xy=a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}
Po zastosowaniu logarytmu:
log
a
(
x
y
)
=
m
+
n
{\displaystyle \log _{a}(xy)=m+n}
A więc:
log
a
(
x
y
)
=
log
a
(
x
)
+
log
a
(
y
)
{\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)}
q.e.d.
Niech:
log
a
(
x
)
=
m
,
log
a
(
y
)
=
n
{\displaystyle \log _{a}(x)=m,\quad \log _{a}(y)=n}
Wówczas:
x
=
a
m
,
y
=
a
n
{\displaystyle x=a^{m},\quad y=a^{n}}
Zatem:
x
y
=
a
m
−
n
{\displaystyle {\frac {x}{y}}=a^{m-n}}
Po zastosowaniu logarytmu:
log
a
(
x
y
)
=
m
−
n
{\displaystyle \log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=m-n}
A więc:
log
a
(
x
y
)
=
log
a
(
x
)
−
log
a
(
y
)
{\displaystyle \log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}
q.e.d.
Niech:
log
a
(
x
)
=
m
{\displaystyle \log _{a}(x)=m}
Wówczas:
x
=
a
m
{\displaystyle x=a^{m}}
Zatem:
x
b
=
(
a
m
)
b
=
a
m
b
{\displaystyle x^{b}=(a^{m})^{b}=a^{mb}}
Po zastosowaniu logarytmu:
log
a
(
x
b
)
=
m
b
{\displaystyle \log _{a}(x^{b})=mb}
A więc:
log
a
(
x
b
)
=
b
log
a
(
x
)
{\displaystyle \log _{a}(x^{b})=b\log _{a}(x)}
q.e.d.
Korzystając z własności potęgowania i pierwiastkowania:
x
c
b
=
x
c
b
{\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{c}}}=x^{\frac {c}{b}}}
log
a
(
x
c
b
)
=
log
a
(
x
c
b
)
{\displaystyle \log _{a}\!\left({\sqrt[{b}]{x^{c}}}\right)=\log _{a}\!\left(x^{\frac {c}{b}}\right)}
Z własności logarytmu potęgi:
log
a
(
x
c
b
)
=
c
b
log
a
(
x
)
{\displaystyle \log _{a}\!\left({\sqrt[{b}]{x^{c}}}\right)={\frac {c}{b}}\log _{a}(x)}
q.e.d.
Korzystając z własności
log
a
(
x
b
)
=
b
log
a
(
x
)
{\displaystyle \log _{a}(x^{b})=b\log _{a}(x)}
log
a
(
x
−
1
)
=
−
1
log
a
(
x
)
{\displaystyle \log _{a}(x^{-1})=-1\log _{a}(x)}
Zatem:
log
a
(
x
)
=
−
log
a
(
1
x
)
{\displaystyle \log _{a}(x)=-\log _{a}({\frac {1}{x}})}
q.e.d.
Niech:
y
=
log
b
(
c
)
⟺
b
y
=
c
{\displaystyle y=\log _{b}(c)\iff b^{y}=c}
Wówczas:
b
log
b
(
c
)
=
c
{\displaystyle b^{\log _{b}(c)}=c}
Po zastosowaniu logarytmu:
l
o
g
a
(
b
log
b
(
c
)
)
=
l
o
g
a
(
c
)
{\displaystyle log_{a}(b^{\log _{b}(c)})=log_{a}(c)}
A więc:
log
a
(
b
)
⋅
l
o
g
b
(
c
)
=
log
a
(
c
)
{\displaystyle \log _{a}(b)\cdot log_{b}(c)=\log _{a}(c)}
q.e.d.
Niech:
log
a
(
x
i
)
=
m
i
{\displaystyle \log _{a}(x_{i})=m_{i}}
i
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,2,\dots ,n}
x
i
=
a
m
i
{\displaystyle x_{i}=a^{m_{i}}}
Zatem:
∏
i
=
1
n
x
i
=
∏
i
=
1
n
a
m
i
=
a
∑
i
=
1
n
m
i
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}=\prod _{i=1}^{n}a^{m_{i}}=a^{\sum _{i=1}^{n}m_{i}}}
Po zastosowaniu logarytmu:
log
a
(
∏
i
=
1
n
x
i
)
=
∑
i
=
1
n
m
i
{\displaystyle \log _{a}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}}
A więc:
log
a
(
∏
i
=
1
n
x
i
)
=
∑
i
=
1
n
log
a
(
x
i
)
{\displaystyle \log _{a}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\log _{a}(x_{i})}
q.e.d.
Funkcja odwrotna
a
log
a
(
x
)
=
x
{\displaystyle a^{\log _{a}(x)}=x}
Dowód
Z definicji logarytmu:
y
=
log
a
(
x
)
⟺
a
y
=
x
{\displaystyle y=\log _{a}(x)\iff a^{y}=x}
Stąd:
a
log
a
(
x
)
=
x
{\displaystyle a^{\log _{a}(x)}=x}
q.e.d.
Zamiana podstawy logarytmu
log
a
(
b
)
=
log
c
(
b
)
log
c
(
a
)
{\displaystyle \log _{a}(b)={\frac {\log _{c}(b)}{\log _{c}(a)}}}
Dowód
Niech:
y
=
log
a
(
b
)
⟺
a
y
=
b
{\displaystyle y=\log _{a}(b)\iff a^{y}=b}
Wówczas:
a
log
a
(
b
)
=
b
{\displaystyle a^{\log _{a}(b)}=b}
Po zastosowaniu logarytmu:
l
o
g
c
(
a
log
a
(
b
)
)
=
l
o
g
c
(
b
)
{\displaystyle log_{c}(a^{\log _{a}(b)})=log_{c}(b)}
Zatem:
log
c
(
a
)
⋅
l
o
g
a
(
b
)
=
log
c
(
b
)
{\displaystyle \log _{c}(a)\cdot log_{a}(b)=\log _{c}(b)}
A więc:
log
a
(
b
)
=
log
c
(
b
)
log
c
(
a
)
{\displaystyle \log _{a}(b)={\frac {\log _{c}(b)}{\log _{c}(a)}}}
q.e.d.
log
a
x
{\displaystyle \log _{a}{x}}
Znak
Monotoniczność
Wykres
0
<
x
<
1
{\displaystyle 0<x<1}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
1
<
x
{\displaystyle 1<x}
0
<
a
<
1
{\displaystyle 0<a<1}
+
{\displaystyle +}
0
{\displaystyle 0}
−
{\displaystyle -}
x
1
<
x
2
⇒
log
a
(
x
1
)
>
log
a
(
x
2
)
{\displaystyle x_{1}<x_{2}\Rightarrow \log _{a}(x_{1})>\log _{a}(x_{2})}
1
<
a
{\displaystyle 1<a}
−
{\displaystyle -}
0
{\displaystyle 0}
+
{\displaystyle +}
x
1
<
x
2
⇒
log
a
(
x
1
)
<
log
a
(
x
2
)
{\displaystyle x_{1}<x_{2}\Rightarrow \log _{a}(x_{1})<\log _{a}(x_{2})}
Dowód
Rozważmy funkcję
log
a
(
x
)
{\displaystyle \log _{a}(x)}
a
x
{\displaystyle a^{x}}
odwrotna .
Monotoniczność:
Dla
0
<
a
<
1
{\displaystyle 0<a<1}
Funkcja wykładnicza
a
x
{\displaystyle a^{x}}
Niech:
x
1
<
x
2
{\displaystyle x_{1}<x_{2}}
Oznaczmy:
log
a
(
x
1
)
=
u
,
log
a
(
x
2
)
=
v
{\displaystyle \log _{a}(x_{1})=u,\quad \log _{a}(x_{2})=v}
Wtedy:
x
1
=
a
u
,
x
2
=
a
v
{\displaystyle x_{1}=a^{u},\quad x_{2}=a^{v}}
Z nierówności
x
1
<
x
2
{\displaystyle x_{1}<x_{2}}
a
u
<
a
v
{\displaystyle a^{u}<a^{v}}
Ponieważ
a
x
{\displaystyle a^{x}}
u
>
v
{\displaystyle u>v}
czyli:
log
a
(
x
1
)
>
log
a
(
x
2
)
{\displaystyle \log _{a}(x_{1})>\log _{a}(x_{2})}
Zatem funkcja jest malejąca. Dla
a
>
1
{\displaystyle a>1}
Funkcja wykładnicza
a
x
{\displaystyle a^{x}}
Niech:
x
1
<
x
2
{\displaystyle x_{1}<x_{2}}
Oznaczmy:
log
a
(
x
1
)
=
u
,
log
a
(
x
2
)
=
v
{\displaystyle \log _{a}(x_{1})=u,\quad \log _{a}(x_{2})=v}
Wtedy:
x
1
=
a
u
,
x
2
=
a
v
{\displaystyle x_{1}=a^{u},\quad x_{2}=a^{v}}
Z nierówności
x
1
<
x
2
{\displaystyle x_{1}<x_{2}}
a
u
<
a
v
{\displaystyle a^{u}<a^{v}}
Ponieważ
a
x
{\displaystyle a^{x}}
u
<
v
{\displaystyle u<v}
czyli:
log
a
(
x
1
)
<
log
a
(
x
2
)
{\displaystyle \log _{a}(x_{1})<\log _{a}(x_{2})}
Zatem funkcja jest rosnąca.
Znak:
Dla
0
<
a
<
1
{\displaystyle 0<a<1}
log
a
(
x
)
=
0
{\displaystyle \log _{a}(x)=0}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
0
<
x
<
1
⇒
log
a
(
x
)
>
0
{\displaystyle 0<x<1\Rightarrow \log _{a}(x)>0}
x
>
1
⇒
log
a
(
x
)
<
0
{\displaystyle x>1\Rightarrow \log _{a}(x)<0}
Dla
1
<
a
{\displaystyle 1<a}
log
a
(
x
)
=
0
{\displaystyle \log _{a}(x)=0}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
0
<
x
<
1
⇒
log
a
(
x
)
<
0
{\displaystyle 0<x<1\Rightarrow \log _{a}(x)<0}
x
>
1
⇒
log
a
(
x
)
>
0
{\displaystyle x>1\Rightarrow \log _{a}(x)>0}
Wniosek można przedstawić:
{
0
<
a
<
1
:
{
0
<
x
<
1
⇒
log
a
(
x
)
>
0
x
=
1
⇒
log
a
(
x
)
=
0
x
>
1
⇒
log
a
(
x
)
<
0
x
1
<
x
2
⇒
log
a
(
x
1
)
>
log
a
(
x
2
)
a
>
1
:
{
0
<
x
<
1
⇒
log
a
(
x
)
<
0
x
=
1
⇒
log
a
(
x
)
=
0
x
>
1
⇒
log
a
(
x
)
>
0
x
1
<
x
2
⇒
log
a
(
x
1
)
<
log
a
(
x
2
)
{\displaystyle {\begin{cases}0<a<1:\ {\begin{cases}0<x<1\Rightarrow \log _{a}(x)>0\\x=1\Rightarrow \log _{a}(x)=0\\x>1\Rightarrow \log _{a}(x)<0\\x_{1}<x_{2}\Rightarrow \log _{a}(x_{1})>\log _{a}(x_{2})\end{cases}}\\[6pt]a>1:\ {\begin{cases}0<x<1\Rightarrow \log _{a}(x)<0\\x=1\Rightarrow \log _{a}(x)=0\\x>1\Rightarrow \log _{a}(x)>0\\x_{1}<x_{2}\Rightarrow \log _{a}(x_{1})<\log _{a}(x_{2})\end{cases}}\end{cases}}}
q.e.d.
Logarytm liczby zespolonej
Logarytm można uogólnić na liczby zespolone , co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych .
Niech
z
{\displaystyle z}
ln
z
=
ln
(
|
z
|
⋅
e
i
⋅
arg
z
)
=
ln
|
z
|
+
i
arg
z
=
ln
|
z
|
+
i
(
ϕ
+
2
k
π
)
,
{\displaystyle \ln z=\ln \left(|z|\cdot e^{i\cdot \arg z}\right)=\ln |z|+i\arg z=\ln |z|+i(\phi +2k\pi ),}
(1)
gdzie:
k
{\displaystyle k}
liczbą całkowitą ,
ln
|
z
|
{\displaystyle \ln |z|}
modułu liczby
z
{\displaystyle z}
arg
{\displaystyle \arg }
argument liczby zespolonej
z
,
{\displaystyle z,}
ϕ
{\displaystyle \phi }
W szczególności dla liczb zespolonych:
ln
1
=
2
k
π
i
,
{\displaystyle \ln 1=2k\pi i,}
ln
(
−
1
)
=
(
2
k
+
1
)
π
i
,
{\displaystyle \ln(-1)=(2k+1)\pi i,}
ln
i
=
4
k
+
1
2
π
i
.
{\displaystyle \ln i={\frac {4k+1}{2}}\pi i.}
Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych
k
.
{\displaystyle k.}
k
=
0
{\displaystyle k=0}
wartość główną logarytmu . Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą:
Ln
.
{\displaystyle \operatorname {Ln} .}
Logarytm o podstawie zespolonej można sprowadzić do logarytmu naturalnego stosując wzór na zmianę podstawy:
log
w
z
=
ln
z
ln
w
,
{\displaystyle \log _{w}z={\frac {\ln z}{\ln w}},}
gdzie:
w
{\displaystyle w}
z
{\displaystyle z}
z
,
w
≠
0
,
w
≠
1
{\displaystyle z,w\neq 0,\;w\neq 1}
ln
z
{\displaystyle \ln z}
ln
w
{\displaystyle \ln w}
(1) .Oczywiście zbiór wartości
log
w
z
{\displaystyle \log _{w}z}
Matematyka
Skala logarytmiczna na wykresach – czasami rozpiętość przedstawianych wielkości jest tak duża, że nie wystarczy podziałka liniowa; por. Diagram HR w astronomii.Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej . Dlatego przydaje się wszędzie tam, gdzie rozwiązuje się równanie wykładnicze – np. do przewidzenia liczby rat kredytu albo czasu, kiedy rozpad promieniotwórczy doprowadzi do danego stężenia pierwiastka.
Regresja liniowa : jeśli oczekiwana zależność między danymi jest potęgowa lub wykładnicza, to analizuje się liniową zależność między ich logarytmami.Prawo iterowanego logarytmu w probabilistyce ,Wymiar Hausdorffa fraktali w topologii i teorii miary ,Asymptotyczne wzrost funkcji pi w teorii liczb ,
W teorii informacji Claude Shannon wyraził entropię informacji przez logarytmy odpowiednich prawdopodobieństw .
Algorytmika : wiele procedur ma złożoność logarytmiczną (np. wyszukiwanie binarne ) lub liniowo-logarytmiczną, np. wiele algorytmów sortowania ,Opis spirali logarytmicznej występującej w naturze, Inne dziedziny
Skala pH w chemii ,skala Richtera w sejsmologii ,Poziom natężenia dźwięku jest logarytmiczną funkcją natężenia dźwięku ,Wysokość dźwięku jest logarytmiczną funkcją jego częstotliwości ,Prawo Webera-Fechnera w psychologii i fizjologii percepcji ,Prawo Fittsa w ergonomii ,Jasność absolutna w astronomii ,Logarytmiczny dekrement tłumienia w fizyce , np. w akustyce oraz w elektrotechnice ,W fizyce statystycznej Ludwig Boltzmann wyraził entropię przez logarytm objętości w przestrzeni fazowej . Uogólnił w ten sposób makroskopową definicję entropii Clausiusa ,
Rozkład Benforda w statystyce i ekonomii,Wzór Ciołkowskiego opisujący ruch rakiety .Przypisy
↑ Jahnke 2003 ↓ 115.
↑ Logarytm Encyklopedia PWN Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-28] 1 2 Jahnke 2003 ↓ 117.
1 2 Wybrane wzory matematyczne Centralna Komisja Egzaminacyjna , 2015, s. 2, ISBN 978-83-940902-1-0 ↑ Własności logarytmów ↑ Miś 1989 ↓ 255.
↑ kologarytm Słownik języka polskiego [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-04-05] Adam A. Kolany Adam A. Logarytm – logika i rytm? Delta ”, sierpień 2015, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-03] Logarithm of a number (ang. ) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].Logarithms, Explained (ang. ) , kanał TED-Ed na YouTube , 20 sierpnia 2012 [dostęp 2024-08-22].
![{\displaystyle \log _{a}\!\left({\sqrt[{b}]{x^{c}}}\right)={\frac {c}{b}}\log _{a}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3ed1f212cfbcce2ad58085c4f5326807d82083)
![{\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{c}}}=x^{\frac {c}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f7567e0da4d9f1ecb29871417924717fb9d6066)
![{\displaystyle \log _{a}\!\left({\sqrt[{b}]{x^{c}}}\right)=\log _{a}\!\left(x^{\frac {c}{b}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/896896661d5588f20edbe7ff458d19010d943eb0)
![{\displaystyle {\begin{cases}0<a<1:\ {\begin{cases}0<x<1\Rightarrow \log _{a}(x)>0\\x=1\Rightarrow \log _{a}(x)=0\\x>1\Rightarrow \log _{a}(x)<0\\x_{1}<x_{2}\Rightarrow \log _{a}(x_{1})>\log _{a}(x_{2})\end{cases}}\\[6pt]a>1:\ {\begin{cases}0<x<1\Rightarrow \log _{a}(x)<0\\x=1\Rightarrow \log _{a}(x)=0\\x>1\Rightarrow \log _{a}(x)>0\\x_{1}<x_{2}\Rightarrow \log _{a}(x_{1})<\log _{a}(x_{2})\end{cases}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf7ffe6842a85d6713dd98e630b1a3a11601a5b)
