Palla (matematica)

In matematica, una palla è l'insieme dei punti interni di una sfera. Le palle generalizzano i concetti di intorno circolare e disco per spazi di qualsiasi dimensione o, più in generale, per un qualsiasi spazio metrico.

Benché nel linguaggio comune siano spesso associate, in matematica il termine palla non è un sinonimo di sfera, infatti quest'ultima è può essere pensata come il solo guscio che delimita la palla.

Spazi metrici

Sia $M$ uno spazio metrico. La palla (o palla aperta) di raggio $r > 0$ centrata nel punto $p$ di $M$ è definita come

B_{r} (p) = {x \in M ∣ d (x, p) < r},

dove $d$ è la distanza o metrica. Se il simbolo di minore ( $<$ ) è sostituito dal simbolo di minore o uguale ( $\leq$ ), la definizione precedente diventa quella di una palla chiusa:

{\bar{B}}_{r} (p) = {x \in M ∣ d (x, p) \leq r} .

Occorre comunque prestare attenzione al fatto che la chiusura di una palla aperta $B_{r} (p)$ in generale non coincide con la palla chiusa ${\bar{B}}_{r} (p)$ , bensì è inclusa. D'altronde, un elemento $x$ di $B_{r} (p)$ appartiene alla sua chiusura se e solo se esiste una successione di elementi di $B_{r} (p)$ di cui $x$ è il limite. Può essere che $d (x, p) \leq r$ ma non esistere una successione suddetta.

Nota in particolare che una palla (aperta o chiusa) include sempre $p$ stesso, poiché $r > 0.$ Una palla unitaria (aperta o chiusa) è una palla di raggio 1.

Nello spazio euclideo $n$ -dimensionale con l'ordinaria metrica euclidea, se lo spazio è la retta, la palla è un intervallo, e se lo spazio è il piano, la palla è il disco interno a un cerchio. Gli oggetti a quattro dimensioni e superiori sono chiamati iperpalla e ipersfera. Vedi quest'ultima per "volume" e "area".

Con altre metriche la forma di una palla può essere differente, ad esempio:

in 2 dimensioni:
- con la distanza di Manhattan (con la norma 1) una palla è un quadrato con le diagonali parallele agli assi coordinati;
- con la distanza della scacchiera (con la norma $\infty$ ) una palla è un quadrato con i lati paralleli agli assi coordinati;
in 3 dimensioni:
- con la distanza di Manhattan una palla è un ottaedro regolare con le diagonali interne parallele agli assi coordinati;
- con la distanza della scacchiera una palla è un cubo con gli spigoli paralleli agli assi coordinati.

Si noti che in molti casi le palle ruotate non sono palle.

Nozioni correlate

Le palle aperte, rispetto a una metrica $d$ formano una base per la topologia indotta da $d$ (per definizione). Questo significa tra l'altro che tutti gli insiemi aperti in uno spazio metrico possono essere scritti come unione di palle aperte.

Un sottoinsieme di uno spazio metrico è limitato se è contenuto in una palla. Un insieme è totalmente limitato se, dato un qualsiasi raggio, è coperto da un numero finito di palle di quel raggio.

Spazi topologici

In uno spazio topologico, una palla (aperta o chiusa) è un sottoinsieme omeomorfo alla palla euclidea (aperta o chiusa) descritta sopra, ma talvolta privo della sua metrica. Una palla è nota per la sua dimensione: una palla $n$ -dimensionale è detta $n$ -palla e indicata con $B^{n}$ o $D^{n}$ . Per $n$ e $m$ distinti, una $n$ -palla non è omeomorfa a una $m$ -palla. Una palla può non essere liscia; se è liscia, non è necessario che sia diffeomorfa a una palla euclidea.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

Palla, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Eric W. Weisstein, Ball, su MathWorld, Wolfram Research.

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