Azione di gruppo

In algebra, un'azione di gruppo è una mappa che consente di mettere in relazione gli elementi di un gruppo con quelli di un altro insieme. È così possibile ottenere una corrispondenza tra le proprietà del gruppo e quelle dell'insieme (che può, a seconda dei casi, essere dotato di altre strutture, per esempio strutture algebriche).

Definizione

Siano G un gruppo ed A un insieme. Si dice azione di gruppo (ovvero G-azione) una funzione:

G \times A ⟶ A

(g, a) \mapsto g \cdot a,

dove $\cdot$ è definita in modo tale da verificare le due seguenti condizioni:

$1_{G} \cdot a = a \forall a \in A;$
$g \cdot (h \cdot a) = (g h) \cdot a \forall g, h \in G, a \in A .$

Quest'ultima proprietà non va confusa con quella associativa che è definita solo per elementi di uno stesso insieme, mentre g, h e a appartengono a insiemi diversi.

In letteratura, data una G-azione su un insieme A, si dice anche che il gruppo G agisce su A o che A è un G-insieme.

Orbite

Data la relazione di equivalenza $\sim$ su $A$

x, y \in A, x \sim y s e \exists g \in G t . c . y = g \cdot x

le classi di equivalenza così definite si dicono orbite. Le orbite formano una partizione di $A$ . L'orbita contenente l'elemento $x$ è data da

O (x) = {g \cdot x ∣ g \in G} .

Nel caso di un'azione di coniugio, le orbite prendono il nome di classi di coniugio.

Numero di orbite

Se il gruppo finito $G$ agisce sull'insieme finito $A$ , per il lemma di Burnside (dovuto a Frobenius) il numero di orbite di tale azione è pari a:

\frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} | fix (g) |

dove

fix (g) = {a \in A : g \cdot a = a}

è l'insieme degli elementi di $A$ che sono lasciati fissi dall'elemento $g$ di $G$ .

Sistemi dinamici

Nell'analisi dei sistemi dinamici, l'evoluzione di un sistema dinamico viene formalizzata da un omomorfismo di gruppo $α : G \to aut (A)$ che induce un'azione continua di un gruppo topologico G su un'algebra localmente convessa A. In tal caso le orbite sono le traiettorie compiute dal sistema nello spazio delle fasi.

Stabilizzatore

Dato un punto $x$ in $A$ , si definisce stabilizzatore di $x$ il sottogruppo di $G$ formato dagli elementi che fissano $x$ :

G_{x} = {g \in G ∣ g \cdot x = x} .

Lo stabilizzatore è un sottogruppo di G.

Per un gruppo finito, l'orbita $O_{x}$ di un elemento $x$ conta tanti elementi quanti l'indice dello stabilizzatore $G_{x}$ in $G$ . Vale allora la seguente formula per il calcolo dell'ordine di $G$ :

| G | = | O_{x} | \cdot | G_{x} | .

Una biiezione esplicita fra le classi laterali

M (x) = {g G_{x}}_{g \in G}

e l'orbita $O (x)$ è data da:

O (x) \to M (x),

g \cdot x \mapsto g G_{x} .

Azioni sinistre e destre

L'azione definita viene detta più propriamente azione a sinistra. Si può definire in maniera analoga un'azione a destra $A \times G \to A$ di $G$ su $A$ , per la quale valgono risultati analoghi a quelli dell'azione a sinistra.

Definizioni ulteriori

Un'azione è banale se

\forall g \in G, \forall x \in A : g \cdot x = x .

Un'azione è fedele se ogni elemento di $G$ sposta almeno un punto di $A$ :

\forall g \in G, g \neq e, \exists x \in A : g \cdot x \neq x .

Un'azione è libera se gli stabilizzatori sono tutti banali:

\forall g \in G, g \neq e, \forall x \in A : g \cdot x \neq x .

Un'azione è transitiva se esiste un'unica orbita:

\forall x, y \in A, \exists g \in G : y = g \cdot x .

Un'azione è semplicemente transitiva se:

\forall x, y \in A, \exists! g \in G : y = g \cdot x .

Un punto fisso è un elemento $x$ in $A$ che è lasciato invariato da tutti gli elementi di $G$ , ovvero la sua orbita si riduce al solo elemento ${x}$ :

g \cdot x = x, \forall g \in G .

Si hanno analoghe definizioni per le azioni destre. Inoltre, si noti che ogni azione libera è fedele e un'azione è semplicemente transitiva se e solo se è libera e transitiva.

Azioni e permutazioni

Se $\cdot$ è un'azione del gruppo $G$ sull'insieme non vuoto $X$ allora per ogni $g \in G$ la funzione $π_{g} : X \to X : x \mapsto g \cdot x$ è una permutazione di $X$ , in effetti l'insieme $S := {π_{g} : g \in G}$ costituisce un sottogruppo del gruppo simmetrico di $X$ . In particolare $S$ è isomorfo a $G$ se e solo se l'azione è fedele.

Esempi

Ogni gruppo agisce su se stesso, tramite traslazione:

G \times G \to G,

(g, x) \mapsto g \cdot x .

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$ . Si consideri il gruppo delle funzioni lineari invertibili ${G L}_{n} (V)$ . Allora

{G L}_{n} (V) \times V \to V,

(f, v) \mapsto f \cdot v := f (v),

è un'azione di ${G L}_{n} (V)$ su $V .$

Azioni su spazi topologici

Supponiamo ora che $A$ sia uno spazio topologico. Sia $X$ lo spazio delle orbite dotato della topologia quoziente e sia $p$ la proiezione naturale

p : A \to X .

Per definizione di topologia quoziente la mappa $p$ è una funzione continua.

Azioni e rivestimenti

Un caso molto studiato in topologia è quello in cui la mappa $p$ è un rivestimento. Affinché questo accada, sono necessarie alcune ipotesi sull'azione.

L'azione è detta propriamente discontinua se per ogni coppia di sottoinsiemi compatti $H$ e $K$ di $A$ l'intersezione

g H \cap K

è non vuota solo per un numero finito di elementi $g$ del gruppo $G$ .

Se $A$ è uno spazio di Hausdorff localmente compatto, le condizioni seguenti sono equivalenti.

$G$ agisce in modo libero e propriamente discontinuo.
$X$ è di Hausdorff e ogni $x$ in $A$ ha un intorno aperto $U$ tale che

g U \cap U = ∅︀

per ogni $g$ in $G$ .

$X$ è di Hausdorff e la proiezione $p : A \to X$ è un rivestimento.

Esempi

Il gruppo $ℤ_{2} \equiv ℤ / 2 ℤ = {0, 1}$ agisce sulla sfera $S^{n}$ : si associa all'elemento "1" la mappa antipodale. L'azione è libera e propriamente discontinua. Lo spazio quoziente è lo spazio proiettivo reale $ℝ ℙ^{n}$ .

Note

↑ Bosch, S., p. 218.
↑ Sernesi, E., p. 81.
↑ Kosniowski, C., p. 39.
↑ Manetti, M., pp. 217-219.

Bibliografia

Siegfried Bosch, Algebra, Springer, 2003, ISBN 978-88-470-0221-0.
Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 978-88-08-06440-0.
Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.
Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.

Voci correlate

Azione di coniugio

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'azione di gruppo

Collegamenti esterni

(EN) Opere riguardanti Group actions (Mathematics), su Open Library, Internet Archive.

(EN) Eric W. Weisstein, Group Action, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Group action, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

Controllo di autorità	LCCN (EN) sh85057471 · J9U (EN, HE) 987007543475605171

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[1] Bosch, S., p. 218.

[2] Sernesi, E., p. 81.

[3] Kosniowski, C., p. 39.

[4] Manetti, M., pp. 217-219.

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