Classe di coniugio

In matematica e specialmente in teoria dei gruppi, gli elementi di un gruppo possono essere divisi in classi di coniugio; gli elementi di una stessa classe di coniugio condividono molte proprietà, e il loro studio nel caso di gruppi non abeliani può essere di aiuto per la comprensione della loro struttura. Nel caso di gruppi abeliani, al contrario, ogni classe di coniugio è formata da un singolo elemento del gruppo.

Definizione

Sia $G$ un gruppo. Due elementi $x$ e $x^{*}$ di $G$ sono detti coniugati se esiste un terzo elemento $g$ in $G$ tale che $g x g^{- 1} = x^{*}$ . Si dimostra che la relazione di coniugio è una relazione di equivalenza, ed esiste quindi una partizione di $G$ in insiemi disgiunti ognuno detto classe di equivalenza rispetto un elemento $x$ fissato:

C o_{G} (\cdot x) = C o (\cdot x) = G \circ x = {x^{*} \in G | x^{*} = g x g^{- 1}, g \in G} \subseteq G,

C o_{G} (x \cdot) = C o (x \cdot) = x^{*} \circ G = {x \in G | g^{- 1} x^{*} g = x, g \in G} \subseteq G,

per azione sinistra o destra e in genere vengono dette orbite di $x$ , e nel caso dell'azione di $G$ su $G$ viene detta classe di coniugio di $x$ . Da notare che questi due tipi di classi coincidono e sono dei sottoinsiemi non dei sottogruppi di $G$ . Se con $n_{O} = | X / G |$ indichiamo il numero di orbite o classi di coniugio distinte, allora possiamo definire l'insieme degli elementi rappresentativi delle singole classi come:

G_{csr} = {x_{1}, x_{2} \dots, x_{n_{O}}} \subseteq X,

dove per l'azione di coniugio si ha $X = G$ e csr le iniziali di complete system of rapresentatives. Il numero delle orbite o classi di coniugio si può ricavare con più metodi:

la ricerca degli elementi $x$ fissati da $g$ (lemma di Burnside)
la partizione di $n$ che corrisponde al numero di tipi di cicli del gruppo simmetrico $S_{n}$ (poiché c'è un isomorfismo tra $G$ e il gruppo simmetrico per il teorema di Cayley).

Descrizione tramite classi di equivalenza

Descriviamo ogni classe di coniugio come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza $\sim_{G \cdot}$ definita in $G$ ponendo per $a, b \in G$ :

a \sim_{G \cdot} b ⟺ g a g^{- 1} = b ⟺ b \in Co (a) .

La classe d'equivalenza contenente l'elemento $g$ è proprio $H g$ : infatti $g = e g$ , dove $e$ è l'elemento neutro di $G$ , quindi $e \in H$ perché $H$ è un sottogruppo.

Anche ogni classe coniugio sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:

a \sim_{\cdot G} b ⟺ g^{- 1} b g = a ⟺ a \in Co (b) .

L'insieme quoziente destro o sinistro mediante la relazione di equivalenza, cioè l'insieme o collezione delle classi coniugio distinte o disgiunte in cui è partizionato $G$ si definisce come:

G / \sim_{\cdot G} = G / \sim_{G \cdot} := {Co (x) | x \in G},

dove l'elemento $x$ è il rappresentante della classe di coniugio. Cioè le partizioni destre e sinistre coincidono e quindi qualsiasi sottogruppo è sempre normale.

Proprietà

L'unità appartiene sempre ad una propria classe di coniugio, cioè: $Co (e) = {e}$ . Infatti si ha:

g e g^{- 1} = g g^{- 1} = e, \forall g \in G .

Se $G$ è abeliano, $Co (x) = {x}$ per ogni $x$ in $G$ . In questo caso si ha che il centro $Z (G)$ coincide con $G$ .
Se due elementi $x$ e $y$ appartengono alla stessa classe di coniugio, allora condividono lo stesso ordine. In particolare per il gruppo simmetrico devono avere tutti la stessa struttura ciclica o il tipo, cioè:

Co (x) = {x \in S_{n} : x = [{l_{1}}^{k_{1}} \dots {l_{r}}^{k_{r}}]} .

quindi un

α \in Co (x)

ha

l_{1}, l_{2}, \dots, l_{r}

numeri interi che rappresentano le lunghezze dei cicli nella struttura ciclica di

α

(cioè 1-ciclo, 2-ciclo, ...), mentre

k_{i}

indica il numero di cicli aventi stessa lunghezza

l_{i}

con l'indice

i = 1, 2, \dots, r

, e rappresentando un singolo ciclo con la notazione

{α_{k_{i}}}^{l_{i}} = ({a_{1}}^{k_{i}} {a_{2}}^{k_{i}} \dots {a_{l_{i}}}^{k_{i}})

abbiamo:

α = \sum_{i = 1}^{r} ({α_{1}}^{l_{i}} \dots {α_{k_{i}}}^{l_{i}}) = \sum_{i = 1}^{r} (\sum_{j = 1}^{k_{i}} α_{j}^{l_{i}})

essendo

\sum_{i = 1}^{r} k_{i} l_{i} = n

. Allora il numero dei coniugati o dello stesso tipo di

α

è:

| Co (x) | = \frac{n!}{(k_{1}! l_{1}^{k_{1}}) (k_{2}! l_{2}^{k_{2}}) \dots (k_{r}! l_{r}^{k_{r}})} = \frac{n!}{(l_{1}^{k_{1}} l_{2}^{k_{2}} \dots l_{r}^{k_{r}}) (k_{1}! k_{2}! \dots k_{r}!)} = \frac{n!}{\prod_{i = 1}^{r} l_{i}^{k_{i}} k_{i}!} .

Un elemento di $G$ appartiene al centro $Z (G)$ di $G$ se e solo se la sua classe di coniugio è formata solo dall'elemento stesso. In simboli:

x \in Z (G) ⟺ Co (x) = {x} .

Se due elementi $x$ e $y$ sono coniugati, allora lo sono anche le loro potenze di ordine $k$ , cioè $x^{k}$ e $y^{k}$ .

Coniugio come azione di gruppo

Si può definire l'azione di coniugio sinistra come l'azione di $G$ in sé stesso:

g \cdot x = g x g^{- 1} = y;

oppure l'azione di coniugio destra

y \cdot g = g^{- 1} y g = x,

per la proprietà simmetrica della relazione di coniugio. Le orbite dell'azione di coniugio vengono dette le classi di coniugio di $x,$ che denotiamo $Co (x)$ già definita, mentre lo stabilizzatore di ogni elemento in questo caso viene detto il suo centralizzatore (o centralizzante) che denotiamo $C_{G} (x)$ e, per l'uso successivo, ne riportiamo la definizione:

C_{G} (x) = {g \in G | g x g^{- 1} = x} = {g \in G | g x = x g} \leq G

ed è un sottogruppo di $G,$ per cui ha senso considerare le classi laterali destre e sinistre, ed anche il numero di tali classi o l'indice $[G : C_{G} (x)]$ .

Allo stesso modo si può definire l'azione di coniugio sinistra di $G$ sulla famiglia $S$ dei sottoinsiemi o dei sottogruppi di $G$ con $S = {H : H < G, {e}, G}$ che comprende i sottogruppi propri e quelli banali o impropri cioè ${e}$ e $G$ stesso:

g \cdot H = g H g^{- 1} = K;

oppure l'azione di coniugio destra

K \cdot g = g^{- 1} K g = H,

per la proprietà simmetrica della relazione di coniugio.

Sottogruppo coniugato

Possiamo definire il sottogruppo coniugato come:

H^{g} = g H g^{- 1} = {g h g^{- 1} : h \in H} \leq G

che si dimostra essere ancora un sottogruppo di $G .$ L'insieme di tutti i coniugati di $H$ si denota:

Co (H) = G \circ H = {g H g^{- 1} : g \in G} = {H^{g} | g \in G}

e, mentre le classi di coniugio sono formate da elementi dello stesso ordine, qui le classi sono formate da sottogruppi con stesso indice $[G : H] = [G : H^{g}]$ . Infine lo stabilizzatore di tale $H$ viene detto normalizzatore e, per completezza, ne riportiamo la definizione:

N_{G} (H) = {g \in G | g H g^{- 1} = H} .

Equazione delle classi di coniugio

Se $G$ è un gruppo finito, allora per ogni elemento $x$ del gruppo, ha senso costruire due insiemi per l'azione di coniugio a sinistra:

Co (x) = {g x g^{- 1}, g \in G} \subseteq G, C_{G} (x) = {g \in G | g x g^{- 1} = x} = {g \in G | g x = x g} \leq G

e consideriamo le relative classi laterali sinistre:

g C_{G} (x) = {g h, h \in C_{G} (x) = H} \subseteq G

facciamo vedere come gli elementi nella classe di coniugazione di $x$ sono in corrispondenza biunivoca con le classi laterali del centralizzatore $C_{G} (x) .$ Infatti due elementi $g_{1}, g_{2} \in g C_{G} (x)$ della stessa classe laterale danno origine allo stesso elemento coniugato $x$ . In particolare con $g = x$ si ha:

g_{1} = x h_{1}, g_{2} = x h_{2} ⟹ g_{2} {h_{2}}^{- 1} = x ⟹ g_{1} = g_{2} {h_{2}}^{- 1} h_{1} = g_{2} h^{'}, h_{1}, h_{2} \in H .

Essendo facile far vedere che $h^{'} \in C_{G} (x)$ si ha:

g_{1} x g_{1}^{- 1} = g_{2} h^{'} x (g_{2} h^{'})^{- 1} = g_{2} h^{'} x {h^{'}}^{- 1} g_{2}^{- 1} = g_{2} x h^{'} {h^{'}}^{- 1} g_{2}^{- 1} = g_{2} x g_{2}^{- 1},

cioè due elementi della stessa classe laterale corrispondono allo stesso elemento coniugato. In altro modo due elementi coniugati della stessa classe $x, y \in Co (x)$ hanno i rispettivi centralizzanti $C_{G} (x), C_{G} (y)$ che sono coniugati. Vale anche il viceversa: se consideriamo due elementi della stessa classe di coniugio $c_{1}, c_{2} \in C o_{G} (x),$ allora per le rispettive classi laterali sinistre rispetto al centralizzatore $C_{G} (x)$ si ha $c_{1} C_{G} (x) = c_{2} C_{G} (x)$ . Questo è un caso particolare del teorema orbita-stabilizzatore, quando si considera il gruppo come agente su se stesso attraverso l'azione per coniugio ( $G$ è un $G$ -insieme), dove le orbite sono le classi di coniugazione e i sottogruppi stabilizzatori sono i centralizzatori. In altri termini esiste una relazione che lega il centralizzante di un elemento con la classe di coniugio dello stesso:

| G \circ x | = | C o (x) | = [G : C_{G} (x)] = | G | / | C_{G} (x) |,

con $[G : C_{G} (x)]$ l'indice in $G$ del centralizzante di $x$ tramite $G$ . Ossia il numero di elementi nella classe di coniugio di $x$ è l'indice $[G : C_{G} (x)]$ del centralizzatore $C_{G} (x)$ in $G$ ; quindi la dimensione di ogni classe di coniugio divide l'ordine del gruppo ( $| G |$ ).

Inoltre, nell'ipotesi di un centro banale, se scegliamo un singolo elemento rappresentativo $x_{i}$ da ogni classe di coniugio, essendo $G$ partizionato in $n_{O}$ classi disgiunte dalla relazione di coniugio, si ottiene

G = ⋃_{i = 1}^{n_{O}} Co (x_{i}), Co (x_{i}) \cap Co (x_{j}) = \emptyset, i, j = 1, \dots, n_{O} i \neq j

e quindi prendendo l'ordine del primo membro e del secondo, si ottiene l'equazione delle classi:

| G | = \sum_{i = 1}^{n_{O}} [G : C_{G} (x_{i})] = 1 + \sum_{i = 2}^{n_{O}} \frac{| G |}{| C_{G} (x_{i}) |},

dove $C_{G} (x_{i})$ è il centralizzatore di $x_{i} .$ Nell'ipotesi di centro non banale, osserviamo che ogni elemento $y$ che sta al centro $Z (G) ⊴ G$ (un sottogruppo normale) forma una classe di coniugio $Co (y) = {y}$ , che contiene il solo elemento $y,$ si ottiene la forma generale dell'equazione delle classi:

| G | = \sum_{i = 1}^{n_{O z}} | Co (y_{i}) | + \sum_{j = 1}^{n_{O}} [G : C_{G} (x_{j})] = | Z (G) | + \sum_{j = 1}^{n_{O}} \frac{| G |}{| C_{G} (x_{j}) |} = n_{O z} + \sum_{j = 1}^{n_{O}} \frac{| G |}{| C_{G} (x_{j}) |},

dove la somma dell'indice $j$ è su un elemento rappresentativo di ciascuna classe di coniugio che non è il centro.

La conoscenza dei divisori dell'ordine di gruppo $| G |$ viene spesso utilizzata per ottenere informazioni sull'ordine del centro ( $| Z (G) |$ ) o delle classi di coniugio ( $| O (x) |$ ).

Esempi

Gruppo simmetrico S_n

Consideriamo il gruppo simmetrico $S_{3}$ non abeliano. In notazione ciclica il gruppo ha i seguenti elementi:

S_{3} = {(1) (2) (3), (1 2 3), (1 3 2), (1 2) (3), (1 3) (2), (2 3) (1)}

che sappiamo avere centro banale $Z (S_{3}) = {(1) (2) (3))} = {i d}$ e quindi il centro $Z (G)$ forma una sola classe di coniugio $Co (i d) = {i d}$ e il corrispondente centralizzante $C_{G} (i d) = S_{3} ⊴ S_{3}$ per cui

| Z (S_{3}) | = \frac{| S_{3} |}{| C_{S_{3}} (i d) |} = \frac{6}{6} = 1.

Fatta questa premessa determiniamo il numero delle classi di coniugio $Co (x_{i})$ e i centralizzatori $C_{S_{3}} (x_{i})$ , dove $x_{i} (i = 1, \dots n_{O})$ è il rappresentante della $i$ -esima classe di coniugio. Innanzitutto osserviamo che $n_{O}$ è uguale al numero di partizioni di $n = 3,$ ossia alla decomposizione di $n$ nella somma d'interi positivi. Essendo $1 \leq 2 \leq 3 = n$ , occorre trovare gli $i_{j} : \sum_{j = 1}^{r} i_{j} = 3, i \in {1, 2, 3}$ e cioè i seguenti casi:

1 + 1 + 1 = 3;

1 + 2 = 3;

3 = 3.

Quindi le classi sono 3, cioè $n_{O} = 3$ ed equivale ai 3 tipi di cicli possibili che si hanno in $S_{3}$ : $[1^{3}], [1^{1} 2^{1}], [3^{1}]$ . L'insieme degli elementi rappresentativi sia ${x_{1}, x_{2}, x_{3}} = {C_{3}, σ^{'}, {C_{3}}^{3}}$ .

Calcolo dei centralizzanti

Consideriamo i 2-cicli e vogliamo trovare quanti elementi commutano con esso. Essendo $x \cdot e = e \cdot x$ , allora l'elemento con tutti i punti fissi (l'identità o neutro) commuta, inoltre $x \cdot x = e$ cioè lo stesso $x$ commuta. Non commuta con un 3-ciclo in quanto $S_{3}$ non è abeliano. Quindi il tipo $[1^{1} 2^{1}]$ ha come generico sottogruppo centralizzante:

C_{S_{3}} (x) = {(1) (2) (3), x}, x = (1 2), (2 3), (1 3),

cioè

| C_{S_{3}} (x) | = 2

e sono i tre sottogruppi delle riflessioni di ordine 2: $T_{2}^{'}, T_{2}^{'^{'}}, T_{2}^{'^{″}} .$

Consideriamo i 3-cicli e notiamo che essi formano il sottogruppo abeliano normale $A_{3}$ , cioè quello alterno per cui per il tipo $[3^{1}]$ si ottiene

C_{S_{3}} (x) = A_{3} = {(1) (2) (3), (1 2 3), (1 3 2)}

cioè

| C_{S_{3}} (x) | = 3

e quindi sono due sottogruppi, uno per ogni 3-ciclo, coincidenti con $A_{3} .$

Infine per l'elemento neutro si ha

C_{S_{3}} (i d) = S_{3},

cioè

| C_{S_{3}} (i d) | = 6,

cioè coincide con il sottogruppo banale. Da notare che l'altro sottogruppo banale con solo l'unità non è centralizzante.

Calcolo delle classi di coniugio

Si può procedere utilizzando la tabella di Cayley di $S_{3}$ oppure col seguente metodo più semplice. Per i 2-cicli osserviamo che fissato, ad esempio, $x = (1 2) (3)$ come rappresentante della classe si ha:

(1 3) = (2 3) (1 2) {(2 3)}^{- 1}, (2 3) = (1 3) (1 2) {(1 3)}^{- 1},

dove sono stati omessi i punti fissi dei cicli per semplicità.

che ci permette di ottenere le tre classi di coniugio coincidenti:

Co (1 2) = Co (1 3) = Co (2 3) = {(1 2), (1 3), (2 3)},

cioè

| Co (x) | = 3.

Per i 3-cicli allora, necessariamente, perché le classi di coniugio formano una partizione (con $x = (1 2 3)$ come rappresentante della classe)

Co ((1 2 3)) = Co ((1 3 2)) = {(1 2 3), (1 3 2)},

cioè

| Co ((1 2 3)) | = 2.

Da quanto visto è facile verificare l'equazione delle classi di coniugio

| S_{3} | = 6 = | Z (S_{3}) | + C o ((1 2) (3)) + | Co ((1 2 3)) | = | Z (S_{3}) | + \frac{| S_{3} |}{| C_{S_{3}} ((3) (1 2)) |} + \frac{| S_{3} |}{| C_{S_{3}} ((1 2 3)) |} = 1 + 3 + 2.

Riassumendo e tenendo conto dell'esempio sulle classi laterali di $S_{3}$ :

Classi di coniugio e centralizzanti di $G = S_{3}$
$x$	${C o}_{G} (x) \subseteq G$	$H \leq G$	$G / \sim_{\cdot H}$	$C o (H)$	$\| {C o}_{G} (x) \| = [G : H]$
$σ^{'}$	$C o (σ^{'}) = {σ^{'}, σ^{'^{'}}, σ^{'^{″}}}$	$T_{2}^{'}$	$T_{2}^{'}, {C_{3}, σ^{'^{'}}}, {C_{3}^{2}, σ^{'^{″}}}$	${T_{2}^{'}, T_{2}^{'^{'}}, T_{2}^{'^{″}}}$	3
	$C o (σ^{'^{'}}) = {σ^{'}, σ^{'^{'}}, σ^{'^{″}}}$	$T_{2}^{'^{'}}$	$T_{2}^{'^{'}}, {C_{3}^{2}, σ^{'}}, {C_{3}, σ^{'^{″}}}$
	$C o (σ^{'^{″}}) = {σ^{'}, σ^{'^{'}}, σ^{'^{″}}}$	$T_{2}^{'^{″}}$	$T_{2}^{'^{″}}, {C_{3}^{2}, σ^{'^{'}}}, {C_{3}, σ^{'}}$
$C_{3}$	$C o (C_{3}) = C o (C_{3}^{2}) = {C_{3}, C_{3}^{2}}$	$A_{3} ⊲ S_{3}$	$A_{3}, {σ^{'}, σ^{'^{'}}, σ^{'^{″}}}$	${A_{3}}$	2
$i d = C_{3}^{3}$	$Z (S_{3}) = {C_{3}^{3}}$	$S_{3} ⊴ S_{3}$	$S_{3}$	${S_{3}}$	1

dove $x$ è il rappresentante della classe di coniugio, $H$ è il sottogruppo $C_{G} (x) \leq G$ e $Co (H)$ l'insieme dei sottogruppi coniugati di $H .$ L'ultima colonna evidenzia il teorema orbita-stabilizzatore.

p-gruppi

Questo esempio fa uso dell'equazione delle classi di coniugio per dimostrare una proprietà dei $p$ -gruppi.

Consideriamo un $p$ -gruppo finito $G$ cioè:

| G | = p^{n}, p \in 𝐏, n \in ℕ,

dove $𝐏$ è l'insieme dei numeri primi e $ℕ$ quello dei numeri naturali. Vogliamo dimostrare che "ogni $p$ -gruppo finito ha un centro $Z (G)$ non banale", cioè che non sia formato dal solo elemento neutro del gruppo ( $| Z (G) | \neq 1$ ).

Poiché l'ordine di qualsiasi classe di coniugio di $G$ deve dividere l'ordine di $G,$ ne segue che qualsiasi classe di coniugio $Co (x_{j}) ⊈ Z (G)$ ha ordine $| Co (x_{j}) | = p^{k_{j}}, 0 < k_{j} < n .$ Mentre si ha pure $Co (y_{i}) = {y_{i}}, | Co (y_{i}) | = 1.$ Nell'equazione delle classi:

| G | = \sum_{i} | Co (y_{i}) | + \sum_{j} | Co (x_{j}) | = | Z (G) | + \sum_{j} | Co (x_{j}) |

$p$ divide $| Co (x_{j}) |$ e quindi divide anche $| Z (G) |$ che dimostra un centro non banale.

Si può studiare l'equazione delle classi di coniugio applicando la serie geometrica in un caso limite:

| G | = p^{n} = | Z (G) | + \sum_{j} | Co (x_{j}) | = \sum_{i = 1}^{n_{O z}} | Co (y_{i}) | + \sum_{j = 1}^{n_{O}} p^{k_{j}} = n_{O z} + p + p^{2} + \dots + p^{(n - 1)} = \frac{p}{p - 1} (p^{n} - 2 p^{(n - 1)} + 1) + \sum_{j = 1}^{n - 1} p^{j} .

Si deduce che $mcm (| Z (G) |, p) = (\frac{p}{p - 1} (p^{n} - 2 p^{(n - 1)} + 1), p) = p \neq 1 ⟹ | Z (G) | > 1$ , cioè il centro non è banale. Da notare che in qualsiasi altro caso l'ordine del centro contiene sempre il fattore $p .$

Casi particolari

per $n = 1$ , $G$ è un gruppo abeliano e si ha $Z (G) = G ≅ C_{p}$ , cioè isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine $p .$
per n=2, G è un gruppo abeliano e si ha Z⁡(G)=G≅Cp×Cp, cioè isomorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine p. Infatti qualsiasi elemento g∈G:g∉Z⁡(G) ammette i seguenti due casi:
1. $g \in G : | < g > | = p^{2},$ allora $G$ è isomorfo al gruppo ciclico di ordine $p^{2},$ quindi abeliano con $Z (G) = G$ .
2. g∈G:|<g>|=p, ed essendo G un p-gruppo per quanto dimostrato sopra |Z⁡(G)|>1 che implica due casi |Z⁡(G)|=p e |Z⁡(G)|=p2.
  - $| Z (G) | = p,$ allora esiste un elemento $b$ di $G$ che non appartiene al centro di $G .$
  Da notare che $C_{G} (b)$ include $b$ e il centro che non contiene $b$ ma almeno $p$ elementi. Quindi l'ordine di $C_{G} (b)$ è strettamente maggiore di $p,$ e si ha:
  
  $| C_{G} (b) | = p^{2} ⟹ b \in Z (g)$ quindi un assurdo. Ne concludiamo che $G$ è abeliano e isomorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici ciascuno di ordine $p$ , come nel caso 1.
  - $| Z (G) | = p^{2} = | G |$ cioè coincide con l'intero gruppo e le classi di coniugazione sono formate da un solo elemento, come nel caso 1.

Note

↑ (EN) Lang S., II. Groups, in Undergraduate Algebra, 3ª ed., Springer Verlag, 2005, ISBN 978-0387220253.
1 2 (EN) Joseph J. Rotman, 3. Symmetric Groups and G-Sets, in An Introduction to the Theory of Groups, 4ª ed., Springer, 1994, ISBN 978-0387942858.
↑ (EN) Dummit David S.; Foote Richard M., Abstract Algebra, 3ª ed., John Wiley & Sons, 2004, ISBN 0-471-43334-9.
↑ (EN) Humphreys, J.F., 10. The Orbit-Stabiliser Theorem, in A Course in Group Theory, 1ª ed., OUP, 1996, ISBN 9780198534594.
↑ (EN) Jacobson, Nathan, 1910-1999., Basic algebra, 2ª ed., Dover Publications, 2009, ISBN 9780486471891, OCLC 294885194. URL consultato l'8 novembre 2018.
↑ (EN) Pierre Antoine Grillet, The Class Equation, in Abstract Algebra, 2ª ed., Springer Verlag, 2007, p. 57, ISBN 978-0387715674.

Postille

1 2 Nel caso di centro non banale distinguiamo due sistemi rappresentativi delle classi di coniugio e due indici:
${x_{1}, \dots, x_{n_{O}}} \subseteq (G ∖ Z (G)),$ dove con $x_{j}, j = 1, \dots, n_{O}$ si indica un generico elemento che non sta nel centro;

${y_{1}, \dots, y_{n_{O z}}} \subseteq Z (G),$ dove con $y_{i}, i = 1, \dots, n_{O z}$ si indica un generico elemento che sta nel centro.
Inoltre si ha:
$n_{O} = | X / G |$ che indica il numero di orbite o classi non del centro;

$n_{O z} = | X / Z | = | Z (G) |$ che indica il numero di orbite o classi del centro.
Se il centro è banale si utilizza un solo sistema con $x_{i}, i = 1, \dots, n_{O}$
↑ Ad esempio $p^{n} = 2^{3}$ si ottiene il caso limite
$| G | = 8 = \frac{2}{2 - 1} (2^{3} - 2 \cdot 2^{(3 - 1)} + 1) + 2 + 4 = 2 (8 - 8 + 1) + 2 + 4 = (1 + 1) + 2 + 4$
quindi $mcm (| Z (G) |, p) = (2, 2) = 2 \neq 1, n_{O z} = n_{O} = 2.$

Bibliografia

Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, 1997, ISBN 88-339-5586-9.
Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti, 2003, ISBN 88-359-5479-7.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) Opere riguardanti Conjugacy classes, su Open Library, Internet Archive.

(EN) Eric W. Weisstein, Conjugacy Class, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] (EN) Lang S., II. Groups, in Undergraduate Algebra, 3ª ed., Springer Verlag, 2005, ISBN 978-0387220253.

[rotman1994-2] 1 2 (EN) Joseph J. Rotman, 3. Symmetric Groups and G-Sets, in An Introduction to the Theory of Groups, 4ª ed., Springer, 1994, ISBN 978-0387942858.

[dummit-3] (EN) Dummit David S.; Foote Richard M., Abstract Algebra, 3ª ed., John Wiley & Sons, 2004, ISBN 0-471-43334-9.

[4] (EN) Humphreys, J.F., 10. The Orbit-Stabiliser Theorem, in A Course in Group Theory, 1ª ed., OUP, 1996, ISBN 9780198534594.

[5] (EN) Jacobson, Nathan, 1910-1999., Basic algebra, 2ª ed., Dover Publications, 2009, ISBN 9780486471891, OCLC 294885194. URL consultato l'8 novembre 2018.

[Grillet2007-6] (EN) Pierre Antoine Grillet, The Class Equation, in Abstract Algebra, 2ª ed., Springer Verlag, 2007, p. 57, ISBN 978-0387715674.

[doppianotazione-7] 1 2 Nel caso di centro non banale distinguiamo due sistemi rappresentativi delle classi di coniugio e due indici:
${x_{1}, \dots, x_{n_{O}}} \subseteq (G ∖ Z (G)),$ dove con $x_{j}, j = 1, \dots, n_{O}$ si indica un generico elemento che non sta nel centro;

${y_{1}, \dots, y_{n_{O z}}} \subseteq Z (G),$ dove con $y_{i}, i = 1, \dots, n_{O z}$ si indica un generico elemento che sta nel centro.
Inoltre si ha:
$n_{O} = | X / G |$ che indica il numero di orbite o classi non del centro;

$n_{O z} = | X / Z | = | Z (G) |$ che indica il numero di orbite o classi del centro.
Se il centro è banale si utilizza un solo sistema con $x_{i}, i = 1, \dots, n_{O}$

[8] Ad esempio $p^{n} = 2^{3}$ si ottiene il caso limite
$| G | = 8 = \frac{2}{2 - 1} (2^{3} - 2 \cdot 2^{(3 - 1)} + 1) + 2 + 4 = 2 (8 - 8 + 1) + 2 + 4 = (1 + 1) + 2 + 4$
quindi $mcm (| Z (G) |, p) = (2, 2) = 2 \neq 1, n_{O z} = n_{O} = 2.$

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Note

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