Teorema del resto

Nell'algebra, il teorema del resto fornisce un metodo per calcolare il resto di un polinomio intero ${\displaystyle P(x)}$ quando viene diviso per un binomio della forma ${\displaystyle (x-a)}$, senza dover eseguire la divisione. Il teorema afferma che il resto di tale divisione è uguale al valore che il polinomio assume per ${\displaystyle x=a}$.

Dividendo un polinomio ${\displaystyle P(x)}$ per un polinomio ${\displaystyle D(x)}$, si ottiene una relazione del tipo:

${\displaystyle P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x),}$

dove ${\displaystyle R(x)}$ è un polinomio di grado minore di quello di ${\displaystyle D(x)}$. In particolare, se ${\displaystyle D(x)=x-a}$, la relazione diventa:

${\displaystyle P(x)=(x-a)\cdot Q(x)+r,}$

dove ${\displaystyle r}$ è una costante numerica. Sostituendo ${\displaystyle x=a}$ si ottiene:

${\displaystyle P(a)=(a-a)\cdot Q(a)+r=r.}$

Quindi ${\displaystyle P(a)=r}$ ossia ciò che vogliamo dimostrare.

Teorema di Ruffini

Un ovvio corollario del teorema del resto è il teorema di Ruffini:

Un polinomio ${\displaystyle P(x)}$ è divisibile per ${\displaystyle (x-a)}$ se e solo se il resto della divisione è nullo, e quindi ${\displaystyle P(a)=0}$.

Questo rende possibile determinare la divisibilità di un polinomio per un binomio ${\displaystyle (x-a)}$ senza dover eseguire la divisione.

Note

Bibliografia

• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

Voci correlate

• Algebra elementare
• Divisibilità di binomi notevoli
• Polinomio
• Regola di Ruffini
• Teorema delle radici razionali

Collegamenti esterni

• (EN) remainder theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Polynomial Remainder Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.

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