Divisore

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I divisori di 10 illustrati con i regoli Cuisenaire: 1, 2, 5, e 10

Nella matematica, un intero b è un divisore di un intero a se esiste un intero c tale che a=b⋅c. Ad esempio, 7 è un divisore di 42 in quanto 42=7⋅6. Si dice anche che 7 divide 42, o che 42 è divisibile per 7 o che 42 è un multiplo di 7, e si scrive 7∣42. I divisori possono essere sia positivi che negativi. I divisori positivi di 42 sono {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}.

Casi particolari: 1 e -1 dividono qualunque intero, ed ogni intero è un divisore di 0. I numeri divisibili per 2 si chiamano pari, mentre quelli che non lo sono si chiamano dispari. Il nome è legato al fatto che l'intero non nullo b divide l'intero a se e solo se nella divisione con resto di a per b il resto è zero.

Regole per piccoli divisori

Esistono alcune regole utili per capire semplicemente alcuni piccoli divisori di un numero guardando le sue cifre decimali:

Proprietà

Alcune proprietà fondamentali:

Ulteriori informazioni

Un divisore positivo di n diverso da n stesso è chiamato divisore proprio.

Numeri primi

Un intero n > 1 il cui unico divisore proprio è 1 viene chiamato numero primo.

Qualunque divisore positivo di n è un prodotto di fattori primi di n elevati ad una qualche potenza (non superiore a quella presente nella fattorizzazione di n stesso). Questa è una conseguenza del teorema fondamentale dell'aritmetica.

Numeri perfetti, difettivi, abbondanti

Un numero uguale alla somma dei suoi divisori propri è detto numero perfetto. I numeri minori della somma sono detti difettivi, quelli maggiori abbondanti.

Numero di divisori

Il numero totale di divisori positivi di n è la funzione moltiplicativa d(n) (ad esempio, d(42) = 8 = 2×2×2 = d(2)×d(3)×d(7)). La somma dei divisori positivi di n è un'altra funzione moltiplicativa σ(n) (ad esempio, σ(42) = 96 = 3×4×8 = σ(2)×σ(3)×σ(7)).

Notiamo che se un numero p è primo allora ha due divisori, p2 ha tre divisori, ecc. In generale pM ha M+1 divisori. Quindi se la fattorizzazione prima di n è data da:

n=p1ν1p2ν2…pMνM.

Allora il numero di divisori positivi di n è:

d(n)=(ν1+1)(ν2+1)…(νM+1)

ed ogni divisore è nella forma:

p1μ1p2μ2…pMμM,

dove:

∀i:0≤μi≤νi,i=1,2,…,M.

Ad esempio poiché

36000=25⋅32⋅53,

allora

d(36000)=(5+1)(2+1)(3+1)=6⋅3⋅4=72

e quindi 36000 ha 72 divisori.

Da queste considerazioni si può dimostrare che un numero ha una quantità dispari di divisori se e solo se è un quadrato perfetto.

Relazione indotta dalla divisibilità

La relazione | di divisibilità rende l'insieme ℕ degli interi non negativi un insieme parzialmente ordinato, precisamente un reticolo completamente distributivo. Il più grande elemento di questo reticolo è 0 ed il più piccolo è 1. L'operazione ∧ è rappresentata dal massimo comun divisore mentre la ∨ dal minimo comune multiplo. Questo reticolo è isomorfo al duale del reticolo dei sottogruppi del gruppo ciclico infinito ℤ

Regole generali di divisibilità

Se un intero n è scritto in base b e d è un intero tale che b ≡ 1 (mod d), allora n è divisibile per d se e solo se anche la somma delle sue cifre in base b lo è. Le regole date sopra per d=3 e d=9 sono casi speciali di questo (b=10).

Possiamo generalizzare ulteriormente questo metodo per trovare come controllare, in qualsiasi base, la divisibilità di qualsiasi intero per un qualsiasi intero minore; cioè, determinare se d | a in base b. Per prima cosa cerchiamo una coppia di interi (n, k) tali che bn ≡ k (mod d). Adesso, invece di sommare le cifre, prendiamo a (che ha m cifre) e moltiplichiamo le prime m-n cifre per k ed aggiungiamo il prodotto alle ultime k cifre, e ripetiamo se necessario. Se il risultato è un multiplo di d allora anche il numero originario è divisibile per d. Qualche esempio:

Poiché 103 ≡ 1 (mod 37) (b=10, n=3, k=1, d=37) allora il numero a=1523836638 si può dimostrare divisibile per 37 in quanto: 1523836×1+638=1524474, 1524×1+474=1998, 1×1+998=999 (o, più semplicemente, visto che in questo caso k=1: 1+523+836+638=999); e 999 è divisibile per 37 per la conguenza vista sopra.

Ancora, 102 ≡ 2 (mod 7) (b=10, n=2, k=2, d=7), se a=43106 otteniamo 431×2+06=868; ripetiamo: 8×2+68 = 84 che è un multiplo di 7. Si noti che non c'è una terna (n, k, d) unica; difatti, avremmo potuto usare anche 10 ≡ 3 (mod 7) e quindi 1293×3 + 6 = 3885, 388×3 + 5 = 1169, 116×3 + 9 = 357, 35×3 + 7 = 112, 11×3 + 2 = 35, 3×3 + 5 = 14 ed infine 1×3 + 4 = 7. Naturalmente questo non è sempre efficiente ma si noti che ogni numero della serie (43106, 12936, 3885, 1169, 357, 112, 35, 14, 7) è un multiplo di 7 e spesso si trovano multipli identificabili banalmente. Questo metodo non è necessariamente utile per alcuni numeri (ad esempio 104 ≡ 4 (mod 17) è il primo n dove k < 10) ma si presta a calcoli veloci in altri casi dove n e k sono relativamente piccoli.

Generalizzazioni

Si potrebbe parlare del concetto di divisibilità in ogni dominio d'integrità. Vedi la voce relativa per una definizione in questo contesto.

Voci correlate

Collegamenti esterni

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