Gruppo unitario speciale

In matematica, il gruppo unitario speciale di grado $n$ è il gruppo delle matrici unitarie $n \times n$ con determinante $1$ dotato della consueta moltiplicazione.

Il gruppo speciale unitario, indicato con $S U (n)$ , è un sottogruppo del gruppo unitario $U (n)$ , che include tutte le matrici unitarie, che è a sua volta un sottogruppo del gruppo lineare generale $G L (n, ℂ)$ .

Il caso più semplice, ovvero $S U (1)$ , è un gruppo banale, contenente cioè un solo elemento. Il gruppo $S U (2)$ è isomorfo rispetto al gruppo dei quaternioni di valore assoluto pari a 1, ed è perciò diffeomorfo alla sfera in quattro dimensioni (definita 3-sfera). Poiché quaternioni unitari possono essere usati per rappresentare rotazioni nello spazio tridimensionale (a meno del segno), l'omeomorfismo è suriettivo da $S U (2)$ sul gruppo ortogonale speciale SO(3) il cui nucleo è ${+ I, - I}$ .

Proprietà

Il gruppo speciale unitario $S U (n)$ è un gruppo di Lie di dimensione $n^{2} - 1$ . Topologicamente, è compatto e semplicemente connesso. Da un punto di vista algebrico, è un gruppo di Lie semplice (ovvero la sua algebra è "semplice"). Il centro di $S U (n)$ è isomorfo al gruppo ciclico Z_n. Il suo gruppo di automorfismi esterni, per $n \geq 3$ , è Z₂, mentre quello di $S U (2)$ è il gruppo banale.

Algebra di Lie

L'algebra di Lie $𝔰 𝔲 (n)$ di $SU (n)$ consiste di matrici anti-hermitiane $n \times n$ con traccia zero. Questa algebra di Lie (reale) ha dimensione $n^{2} - 1$ .

Rappresentazione fondamentale

Nel contesto della fisica, è comune identificare l'algebra di Lie con lo spazio di matrici hermitiane a traccia nulla (non antihermitiane). Ciò equivale a dire che l'algebra in fisica e l'algebra in matematica differiscono di un fattore $i$ . Con questa convenzione, si può quindi scegliere generatori $T_{a}$ che sono matrici $n \times n$ complesse hermitiane a traccia nulla, dove:

T_{a} T_{b} = \frac{1}{2 n} δ_{a b} I_{n} + \frac{1}{2} \sum_{c = 1}^{n^{2} - 1} (i f_{a b c} + d_{a b c}) T_{c}

dove le $f$ sono le costanti di struttura e sono antisimmetrici in tutti gli indici, mentre i coefficienti $d$ sono simmetrici.

Di conseguenza, l'anticommutatore e il commutatore sono:

\begin{matrix} {T_{a}, T_{b}} & = \frac{1}{n} δ_{a b} I_{n} + \sum_{c = 1}^{n^{2} - 1} d_{a b c} T_{c} \\ [T_{a}, T_{b}] & = i \sum_{c = 1}^{n^{2} - 1} f_{a b c} T_{c} . \end{matrix}

Il fattore $i$ nelle relazioni di commutazione deriva dalla convenzione fisica mentre non è presente nella convenzione matematica.

La condizione di normalizzazione più comune è:

\sum_{c, e = 1}^{n^{2} - 1} d_{a c e} d_{b c e} = \frac{n^{2} - 4}{n} δ_{a b}

I generatori $T_{a}$ soddisfano inoltre l'identità di Jacobi:

$[T_{a}, [T_{b}, T_{c}]] + [T_{b}, [T_{c}, T_{a}]] + [T_{c}, [T_{a}, T_{b}]] = 0$

In fisica, si definiscono per convenzione i generatori come le matrici complesse hermitiane a traccia nulla con un fattore $1 / 2$ davanti: nel caso del gruppo $S U (2)$ , si prendono come generatori le matrici $\frac{1}{2} σ_{1}, \frac{1}{2} σ_{2}, \frac{1}{2} σ_{3}$ dove $σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}$ sono le matrici di Pauli, mentre per il gruppo $S U (3)$ si definiscono i generatori $T_{a} = \frac{1}{2} λ_{a}$ dove $λ_{a}$ sono le matrici di Gell-Mann. Con questa definizione, i generatori presentano la seguente normalizzazione:

$T r (T_{a} T_{b}) = \frac{1}{2} δ_{a b}$

Rappresentazione aggiunta

Nella rappresentazione aggiunta $(n^{2} - 1)$ -dimensionale, i generatori sono rappresentati da matrici $(n^{2} - 1) \times (n^{2} - 1)$ , i cui elementi sono definiti dalle costanti di struttura stesse:

{(T_{a})}_{j k} = - i f_{a j k} .

Struttura dell'algebra

La complessificazione dell'algebra di Lie $𝔰 𝔲 (n)$ è $𝔰 𝔩 (n; ℂ)$ , lo spazio di tutte le matrici complesse $n \times n$ con traccia nulla. Una sottoalgebra di Cartan consiste quindi delle matrici diagonali con traccia nulla, che si identifica con i vettori in $ℂ^{n}$ tali che la somma dei loro elementi sia zero. Di conseguenza, le radici sono tutte le $n (n - 1)$ permutazioni di $(1, - 1, 0, \dots, 0)$ .

Una scelta di radici semplici è data da:

\begin{matrix} ( & 1, - 1, 0, \dots, 0, 0), \\ ( & 0, 1, - 1, \dots, 0, 0), \\ ⋮ \\ ( & 0, 0, 0, \dots, 1, - 1) . \end{matrix}

Pertanto $S U (n)$ ha rango $n - 1$ e il suo diagramma di Dynkin è quello di $A_{n - 1}$ , cioè una catena lineare di $n - 1$ nodi. La matrice di Cartan è

(\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 & \dots & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & \dots & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 \end{matrix}) .

Il suo gruppo di Weyl o gruppo di Coxeter è il gruppo simmetrico.

Il gruppo SU(2)

Il gruppo SU(2) è dato dalla seguente definizione,

SU (2) = {(\begin{matrix} α & - \overline{β} \\ β & \overline{α} \end{matrix}) : α, β \in ℂ, | α |^{2} + | β |^{2} = 1},

dove la barra indica l'operazione di coniugazione complessa.

Diffeomorfismo con la 3-sfera

Considerando $α, β$ come coppia in $ℂ^{2}$ dove $α = a + b i$ e $β = c + d i$ , allora l'equazione $| α |^{2} + | β |^{2} = 1$ diventa

a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1

che equivale all'equazione della 3-sfera S³. Questo può essere anche visto usando un embedding: la mappa

\begin{matrix} φ : ℂ^{2} & \to M (2, ℂ) \\ φ (α, β) & = (\begin{matrix} α & - \overline{β} \\ β & \overline{α} \end{matrix}), \end{matrix}

dove $M (2, ℂ)$ indica l'insieme delle matrici complesse 2 per 2, è una mappa lineare reale iniettiva (considerando $ℂ^{2}$ diffeomorfo a $ℝ^{4}$ e $M (2, ℂ)$ diffeomorfo a $ℝ^{8}$ ). Quindi, la restrizione di $φ$ alla 3-sfera (siccome il modulo è 1), indicata con $S^{3}$ , è un embedding della 3-sfera su una sottovarietà compatta di $M (2, ℂ)$ , nello specifico $φ (S^{3}) = S U (2)$ .

Pertanto, come varietà, $S^{3}$ è diffeomorfa a SU(2), che mostra che SU(2) è semplicemente connesso e che $S^{3}$ può essere munita con la struttura di un gruppo di Lie connesso e compatto. Rappresentazioni irriducibili di questo gruppo sono date dagli elementi della matrice D di Wigner. Tali rappresentazioni sono unitarie e a dimensione finita.

Isomorfismo con i quaternioni unitari

La matrice complessa

(\begin{matrix} a + b i & c + d i \\ - c + d i & a - b i \end{matrix}) (a, b, c, d \in ℝ)

può essere mappata a un quaternione come:

a \hat{1} + b \hat{i} + c \hat{j} + d \hat{k}

e la mappa che li lega è un isomorfismo. Inoltre, il determinante della matrice è la norma al quadrato del corrispondente quaternione. Chiaramente, una matrice in SU(2) ha questa forma e, siccome ha determinante 1, il corrispondente quaternione ha norma 1. Pertanto SU(2) è isomorfo ai quaternioni.

Algebra di Lie

L'algebra di Lie di SU(2) consiste delle matrici $2 \times 2$ antihermitiane a traccia nulla. Esplicitamente, ciò significa che

𝔰 𝔲 (2) = {(\begin{matrix} i a & - \overline{z} \\ z & - i a \end{matrix}) : a \in ℝ, z \in ℂ} .

L'algebra di Lie è quindi generata dalle seguenti matrici,

u_{1} = (\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}), u_{2} = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), u_{3} = (\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & - i \end{matrix}),

che hanno la forma dell'elemento generico del gruppo e sono legati alle matrici di Pauli dalle formule $u_{1} = - i σ_{1}, u_{2} = - i σ_{2}$ e $u_{3} = - i σ_{3} .$

Poiché soddisfano le relazioni dei quaternioni $u_{2} u_{3} = - u_{3} u_{2} = u_{1},$ $u_{3} u_{1} = - u_{1} u_{3} = u_{2},$ e $u_{1} u_{2} = - u_{2} u_{1} = u_{3}$ , il commutatore è quindi specificato da

[u_{3}, u_{1}] = 2 u_{2}, [u_{1}, u_{2}] = 2 u_{3}, [u_{2}, u_{3}] = 2 u_{1} .

Questa rappresentazione è usata comunemente in meccanica quantistica per rappresentare lo spin delle particelle fondamentali come l'elettrone.

Il gruppo SU(3)

Gruppo di Lie

$S U (3)$ è un gruppo di Lie semplice di dimensione 8 contenente tutte le matrici unitarie 3×3 con determinante 1. È un gruppo compatto e semplicemente connesso. La teoria delle rappresentazioni è ampiamente studiata e compresa.

Algebra di Lie

I generatori $T$ , dell'algebra di Lie $𝔰 𝔲 (3)$ del gruppo $S U (3)$ nella cosiddetta rappresentazione "definente" (anche fondamentale, hermitiana o della fisica delle particelle), sono

T_{a} = \frac{λ_{a}}{2},

dove $λ$ indica le matrici di Gell-Mann, l'analogo per SU(3) delle matrici di Pauli per SU(2):

\begin{matrix} λ_{1} = & (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), & λ_{2} = & (\begin{matrix} 0 & - i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), & λ_{3} = & (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), \\ λ_{4} = & (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}), & λ_{5} = & (\begin{matrix} 0 & 0 & - i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{matrix}), \\ λ_{6} = & (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}), & λ_{7} = & (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - i \\ 0 & i & 0 \end{matrix}), & λ_{8} = \frac{1}{\sqrt{3}} & (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{matrix}) . \end{matrix}

In quanto generatori, combinazioni lineari di queste $λ_{a}$ coprono tutte le matrici hermitiane a traccia nulla $H$ . Si osservi che $λ_{2}$ , $λ_{5}$ e $λ_{7}$ sono antisimmetriche.

I generatori soddisfano le seguenti relazioni di commutazione e anticommutazione

\begin{matrix} [T_{a}, T_{b}] & = i \sum_{c = 1}^{8} f_{a b c} T_{c}, \\ {T_{a}, T_{b}} & = \frac{1}{3} δ_{a b} I_{3} + \sum_{c = 1}^{8} d_{a b c} T_{c}, \end{matrix}

derivate dalla seguente relazione per le matrici di Gell-Mann,

{λ_{a}, λ_{b}} = \frac{4}{3} δ_{a b} I_{3} + 2 \sum_{c = 1}^{8} d_{a b c} λ_{c}

.

I coefficienti $f$ sono le costanti di struttura, determinate da

\begin{matrix} f_{123} & = 1, \\ f_{147} = - f_{156} = f_{246} = f_{257} = f_{345} = - f_{367} & = \frac{1}{2}, \\ f_{458} = f_{678} & = \frac{\sqrt{3}}{2}, \end{matrix}

mentre tutte le altre $f_{a b c}$ che non si ottengono da queste tramite permutazioni sono nulle. In generale, sono nulle a meno che contengano un numero di indici dell'insieme {2, 5, 7}, per cui meno di ¹⁄₆ di tutte le $f_{a b c}$ sono non nulle.

I coefficienti simmetrici $d$ assumono i valori:

\begin{matrix} d_{118} = d_{228} = d_{338} = - d_{888} & = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ d_{448} = d_{558} = d_{668} = d_{778} & = - \frac{1}{2 \sqrt{3}} \\ d_{344} = d_{355} = - d_{366} = - d_{377} = - d_{247} = d_{146} = d_{157} = d_{256} & = \frac{1}{2} . \end{matrix}

e sono nulli se il numero di indici dell'insieme {2, 5, 7} è dispari.

Un generico elemento del gruppo generato da una matrice hermitiana 3×3 a traccia nulla $H$ , con la normalizzazione $tr (H^{2}) = 2$ , può essere espresso come un polinomio di matrici del secondo ordine in $H$ :

\begin{matrix} \exp (i θ H) = & [- \frac{1}{3} I \sin (φ + \frac{2 π}{3}) \sin (φ - \frac{2 π}{3}) - \frac{1}{2 \sqrt{3}} H \sin (φ) - \frac{1}{4} H^{2}] \frac{\exp (\frac{2}{\sqrt{3}} i θ \sin (φ))}{\cos (φ + \frac{2 π}{3}) \cos (φ - \frac{2 π}{3})} \\ + [- \frac{1}{3} I \sin (φ) \sin (φ - \frac{2 π}{3}) - \frac{1}{2 \sqrt{3}} H \sin (φ + \frac{2 π}{3}) - \frac{1}{4} H^{2}] \frac{\exp (\frac{2}{\sqrt{3}} i θ \sin (φ + \frac{2 π}{3}))}{\cos (φ) \cos (φ - \frac{2 π}{3})} \\ + [- \frac{1}{3} I \sin (φ) \sin (φ + \frac{2 π}{3}) - \frac{1}{2 \sqrt{3}} H \sin (φ - \frac{2 π}{3}) - \frac{1}{4} H^{2}] \frac{\exp (\frac{2}{\sqrt{3}} i θ \sin (φ - \frac{2 π}{3}))}{\cos (φ) \cos (φ + \frac{2 π}{3})} \end{matrix}

dove

φ \equiv \frac{1}{3} [\arccos (\frac{3 \sqrt{3}}{2} det H) - \frac{π}{2}] .

Note

1 2 Hall 2015, Proposizione 3.24.
1 2 (EN) Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics: From Isospin to Unified Theories, 1ª ed., CRC Press, 4 maggio 2018, DOI:10.1201/9780429499210, ISBN 978-0-429-49921-0. URL consultato il 17 agosto 2024.
↑ Hall 2015, Sezione 3.6.
↑ Hall 2015, Sezione 7.7.1.
↑ Hall 2015, Sezione 8.10.1.
↑ Hall 2015, Esercizio 1.5.
↑ Savage, Alistair, LieGroups (PDF), su alistairsavage.ca, MATH 4144 notes.
↑ Hall 2015, Proposizione 13.11.
↑ Hall 2015, Capitolo 6.
↑ S P Rosen, Finite Transformations in Various Representations of SU(3), in Journal of Mathematical Physics, vol. 12, n. 4, 1971, pp. 673-681, Bibcode:1971JMP....12..673R, DOI:10.1063/1.1665634.; Curtright, T L e Zachos, C K, Elementary results for the fundamental representation of SU(3), in Reports on Mathematical Physics, vol. 76, n. 3, 2015, pp. 401-404, Bibcode:2015RpMP...76..401C, DOI:10.1016/S0034-4877(15)30040-9, arXiv:1508.00868.

Bibliografia

Brian C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, collana Graduate Texts in Mathematics, vol. 222, 2ª ed., Springer, 2015, ISBN 978-3319134666.

Collegamenti esterni

Gruppo speciale unitario, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Eric W. Weisstein, Special Unitary Group, su MathWorld, Wolfram Research.

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[Hall_2015-1] 1 2 Hall 2015, Proposizione 3.24.

[taylorfrancis.com-2] 1 2 (EN) Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics: From Isospin to Unified Theories, 1ª ed., CRC Press, 4 maggio 2018, DOI:10.1201/9780429499210, ISBN 978-0-429-49921-0. URL consultato il 17 agosto 2024.

[3] Hall 2015, Sezione 3.6.

[4] Hall 2015, Sezione 7.7.1.

[5] Hall 2015, Sezione 8.10.1.

[6] Hall 2015, Esercizio 1.5.

[7] Savage, Alistair, LieGroups (PDF), su alistairsavage.ca, MATH 4144 notes.

[8] Hall 2015, Proposizione 13.11.

[9] Hall 2015, Capitolo 6.

[10] S P Rosen, Finite Transformations in Various Representations of SU(3), in Journal of Mathematical Physics, vol. 12, n. 4, 1971, pp. 673-681, Bibcode:1971JMP....12..673R, DOI:10.1063/1.1665634.; Curtright, T L e Zachos, C K, Elementary results for the fundamental representation of SU(3), in Reports on Mathematical Physics, vol. 76, n. 3, 2015, pp. 401-404, Bibcode:2015RpMP...76..401C, DOI:10.1016/S0034-4877(15)30040-9, arXiv:1508.00868.

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