Polinomio

Ulteriori denominazioni

Due polinomi sono considerati uguali se, dopo essere stati ridotti in forma normale, hanno gli stessi termini, a meno dell'ordine. Quindi i polinomi seguenti sono uguali:

${\displaystyle x+3y+28z-2y-28z,\qquad x+y,\qquad y+x.}$

Il grado di un polinomio non nullo e ridotto in forma normale è il massimo grado dei suoi monomi, mentre il grado parziale rispetto a una variabile è il grado risultante considerando tutte le altre variabili come coefficienti. Quindi

${\displaystyle 2+xy+y}$

ha grado ${\displaystyle 2}$, mentre ha grado parziale ${\displaystyle 1}$ rispetto sia a ${\displaystyle x}$ che a ${\displaystyle y}$.

Si dicono coefficienti di un polinomio i coefficienti dei suoi singoli termini. Quindi i coefficienti di ${\displaystyle 2+xy+y}$ sono rispettivamente ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle 1}$: il coefficiente ${\displaystyle 1}$ in un monomio è solitamente sottinteso.

Il termine noto di un polinomio ridotto in forma normale è l'unico monomio (se esiste) di grado zero, cioè non contenente variabili. Se non esiste un tale monomio, il termine noto è considerato generalmente inesistente o uguale a zero, secondo il contesto. Ad esempio, in

${\displaystyle x^{2}+y^{3}+x+5}$

il termine noto è l'ultimo monomio: ${\displaystyle 5}$.

Somma di due polinomi

Il grado (degree) della somma o differenza di due polinomi è minore o uguale al polinomio di grado maggiore:

${\displaystyle \deg(P+Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q));}$

${\displaystyle \deg(P-Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q)).}$

È sempre uguale al massimo tra i due, quando i due polinomi hanno grado differente.

Esempi:

• Il grado di ${\displaystyle (x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1}$ è 3. Si noti che ${\displaystyle 3\leq \max(3,2).}$
• Il grado di ${\displaystyle (x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x}$ è 2. Si noti che ${\displaystyle 2\leq \max(3,3).}$

Prodotto di un polinomio per un numero

Il grado del prodotto di un polinomio per un numero (diverso da zero) è uguale al grado del polinomio:

${\displaystyle \deg(cP)=\deg(P).}$

Esempio:

• Il grado di ${\displaystyle 2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4}$ è 2, che è appunto uguale al grado di ${\displaystyle x^{2}+3x-2}$.

Si noti che questo non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello che contiene un divisore di zero. Ad esempio, in ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$, ${\displaystyle \deg(1+2x)=1}$, ma ${\displaystyle \deg(2(1+2x))=\deg(2+4x)=\deg(2)=0}$. L'insieme dei polinomi aventi coefficienti da un dato campo e grado minore o uguale a ${\displaystyle n,}$ forma uno spazio vettoriale (questo insieme non è un anello, e non è chiuso, come mostrato in precedenza).

Moltiplicazione di due polinomi

Il grado del prodotto di due polinomi definiti su un campo (oggetto in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto, con certe proprietà) oppure su un dominio d'integrità, è uguale alla somma dei gradi dei due polinomi:

${\displaystyle \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q).}$

Esempio:

• Il grado di ${\displaystyle (x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x}$ è ${\displaystyle 3+2=5}$.

Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$, ${\displaystyle \deg(2x)+\deg(1+2x)=1+1=2}$, ma ${\displaystyle \deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1}$.

Composizione di due polinomi

Il grado della composizione di due polinomi ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ a coefficienti non costanti è uguale al prodotto dei rispettivi gradi:

${\displaystyle \deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q).}$

Esempio:

• Se ${\displaystyle P=(x^{3}+x)}$, ${\displaystyle Q=(x^{2}+1)}$, allora ${\displaystyle P\circ Q=P\circ (x^{2}+1)=(x^{2}+1)^{3}+(x^{2}+1)=x^{6}+3x^{4}+4x^{2}+2}$, che ha grado d 6.

Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$, ${\displaystyle \deg(2x)\deg(1+2x)=1\cdot 1=1}$, ma ${\displaystyle \deg(2x\circ (1+2x))=\deg(2+4x)=\deg(2)=0}$.

Grado del polinomio zero

Come qualsiasi valore costante, il valore zero può essere considerato come un polinomio (costante), detto polinomio nullo. Questo polinomio non ha termini che non siano nulli, e perciò, propriamente non ha un grado, vale a dire che il suo grado è indefinito. Le proposizioni precedenti sul grado della somma, prodotto e composizione di polinomi non si applicano se anche uno dei due è un polinomio nullo.

Tuttavia altre convenzioni definiscono il grado del polinomio zero come un numero negativo (spesso ${\displaystyle -1}$) o come ${\displaystyle -\infty }$. La convenzione scelta dipende dal contesto in cui vengono utilizzati o studiati i polinomi.

Ponendo il grado del ppolinomio nullo come un numero negativo valgono le formule sul grado della somma e del prodotto, ma non quella della composizione.

Ponendo invece il grado del polinomio nullo ${\displaystyle -\infty }$ valgono sia le formule di somma e prodotto che quella della composizione di polinomi, infatti:

${\displaystyle \max(a,-\infty )=a,}$

e

${\displaystyle a+-\infty =-\infty .}$

I seguenti esempi illustrano come questa estensione soddisfi le formule di somma, prodotto e composizione di due polinomi:

• Il grado della somma ${\displaystyle (x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x}$ è 3. Ciò soddisfa il risultato atteso, cioè che ${\displaystyle 3\leq \max(3,-\infty )}$.
• Il grado della differenza ${\displaystyle (x)-(x)=0}$ è ${\displaystyle -\infty }$. E, infatti, vale che: ${\displaystyle -\infty \leq \max(1,1)}$.
• Il grado del prodotto ${\displaystyle (0)(x^{2}+1)=0}$ è ${\displaystyle -\infty }$. E, infatti, vale che: ${\displaystyle -\infty =-\infty +2}$.

Radici di un polinomio

Lo stesso argomento in dettaglio: Radice (matematica).

Una radice di un polinomio ${\displaystyle p(x)}$ in una sola variabile è un numero ${\displaystyle b}$ tale che

${\displaystyle p(b)=0,}$

cioè tale che, sostituito a ${\displaystyle x}$, rende nulla l'espressione. Quindi se

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n},}$

il numero ${\displaystyle b}$ è radice se

${\displaystyle p(b)=a_{0}+a_{1}b+a_{2}b^{2}+\ldots +a_{n}b^{n}=0.}$

Nel caso di polinomi a coefficienti reali l'insieme delle radici reali di un polinomio ${\displaystyle p}$ si può visualizzare sul piano cartesiano come l'intersezione del grafico della funzione polinomiale ${\displaystyle y=p(x)}$ con l'asse delle ascisse.

In un dominio, un polinomio di grado ${\displaystyle n}$ può avere al più ${\displaystyle n}$ radici distinte. Esistono polinomi senza radici reali, come ad esempio

${\displaystyle x^{2}+1,}$

poiché ${\displaystyle b^{2}+1>0}$ per ogni ${\displaystyle b}$ reale. D'altra parte, per il teorema fondamentale dell'algebra ogni polinomio complesso ha esattamente ${\displaystyle n}$ radici complesse, contate con molteplicità. Inoltre, per il teorema delle radici complesse coniugate, se ${\displaystyle z_{0}}$ è una radice di un polinomio a coefficienti reali, allora anche il suo complesso coniugato ${\displaystyle {\overline {z_{0}}}}$ è una radice.

Nella scuola vengono insegnate formule per trovare le radici dei polinomi di primo e secondo grado. Esistono formule analoghe per esprimere la radici di un polinomio di terzo e quarto grado in termini dei coefficienti, utilizzando solamente le quattro operazioni ed estrazioni di radice (la cosiddetta risoluzione per radicali). È stato invece dimostrato nella teoria di Galois che non esiste una formula generale di questo tipo per polinomi dal quinto grado in su.

Esempi

Derivata

Una funzione polinomiale a coefficienti reali

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n},}$

è derivabile e la sua derivata è ancora un polinomio,

${\displaystyle p'(x)=a_{1}+2a_{2}x+\ldots +na_{n}x^{n-1}.}$

Ragionando quindi induttivamente, si può quindi affermare che le funzioni polinomiali sono infinitamente derivabili (o lisce) e che la derivata (n+1)-esima di un polinomio di grado ${\displaystyle n}$ è la funzione nulla. In realtà esse sono anche funzioni analitiche.

Esempi

• ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ non è un dominio ad ideali principali, e quindi neanche un anello euclideo. Infatti l'ideale ${\displaystyle (2,x)}$ generato dai polinomi ${\displaystyle 2}$ e ${\displaystyle x}$ non è principale.
• ${\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}$ non è un dominio ad ideali principali, e quindi neanche un anello euclideo. Infatti l'ideale ${\displaystyle (x,y)}$ generato dai polinomi ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ non è principale.
• ${\displaystyle K[x]}$, se ${\displaystyle K}$ è un campo, è un dominio euclideo.
• Il principio di identità dei polinomi vale solo su domini infiniti. Ad esempio, se ${\displaystyle K}$ è il campo finito con due elementi, cioè ${\displaystyle K\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$ allora il polinomio ${\displaystyle f(x)=x+x^{2}}$ è tale che ${\displaystyle f(x)=0}$ per ogni ${\displaystyle x\in K}$ in (cioè ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 1}$), benché non sia il polinomio nullo.

Derivata formale

Lo stesso argomento in dettaglio: Algebra differenziale.

Il calcolo della derivata di un polinomio si estende come "definizione" di derivata (chiamata derivata formale) nel caso in cui il polinomio abbia coefficienti in un anello ${\displaystyle A}$, anche in assenza del calcolo infinitesimale. Molte delle proprietà della derivata si estendono anche alla derivata formale.

Casi particolari