−1

−1의 제곱

−1의 제곱은 1이다. 따라서 어떤 두 음수를 곱하면 항상 양수가 나온다.

이를 대수적으로 증명하기 위해 우선 다음의 항등식을 보자.

0 = −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ [1 + (−1)].

첫 번째 항등식은 윗 문단에서, 두 번째 항등식은 −1이 1의 덧셈의 역원이라는 사실에서 나온다. 이제 분배법칙을 적용하면 식을 다음과 같이 나눌 수 있다.

0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] = −1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) = −1 + (−1) ⋅ (−1).

−1 곱하기 1이 −1이 되는 까닭은 1이 덧셈의 항등원이기 때문에 그렇다. 이제 양변에 1을 더하면 다음의 결과를 얻을 수 있다.

(−1) ⋅ (−1) = 1.

위의 논의는 정수와 실수를 일반화한 추상대수학적 개념인 환에서 항상 성립한다.

다시 정리하면 다음과 같다.${\displaystyle 1+(-1)=0}$이므로,

${\displaystyle 0=0\times 0=(1+(-1))\times (1+(-1))}$

여기에서 분배 법칙을 사용하면,

${\displaystyle 0=(1\times 1)+((-1)\times 1)+(1\times (-1))+((-1)\times (-1))}$

${\displaystyle =-1+((-1)\times (-1))}$이 된다. −1을 왼쪽으로 이항하면

${\displaystyle (-1)\times (-1)=1}$이 얻어진다.

−1의 제곱근

−1의 제곱근은 실수 안에선 찾을 수 없고, 복소수 안에서 찾아야한다. 복소수 i의 제곱이 −1이기 때문에 이를 −1의 제곱근 중 하나로 본다. 다른 제곱근 중 하나는 −i이다. 사원수로 논의를 확장하면 −1의 제곱근은 무수히 많다.